数制与编码

1. 进位计数制#

核心考点：各种进制：2、8、10、16 进制之间的转换

数值单位的表示：

• B：二进制
• D：十进制
• O：八进制
• H：十六进制

任意进制转为十进制的方法#

实际上就是源字符串，例如图中的八进制数 $251.5$，对第 N 分位上的数乘上权重即可。（八进制的权重是八）

二、八、十六进制之间的快速转换#

从二进制转为八进制，可以把源二进制串从小数点看为两部分：整数部分和小数部分。然后每三位就是一个八进制数，不够的补 0。例如图中小数点后的 01101 字符串，由于最后的 01 不够三位，所以很自然地补一个 0 。

从二进制转为十六进制同理。

由此可逆向得到从八/十六进制转为二进制的方法：对每一分位的数字，将其转为对应位数的二进制串即可。

短除法实现十进制转换#

注意：整数部分是除法，小数部分使用乘法，满 1 则取余后继续计算小数部分。

实际上，最简单的方法是先转为二进制后，再求其他的进制，例如八进制、16 进制，因为一眼就能看出来

真值和机器数#

因为数值一般带有正负性，因此需要在转换后的二进制串的最高位加一位，用于表示该串的正负性。

总结#

重点就是各种进制的转换，没什么好说的

2. 定点数的编码表示#

本章涉及：

1. 无符号数
2. 有符号数：原码、反码、补码、移码

2.1. 定点数与浮点数#

定点数：小数点的位置固定，例如 $996.007\to常规计数$

浮点数：小数点的位置不固定， 例如 $9.96007* 10^2\to科学计数法$

2.2. 无符号数#

无符号数即整个机器字长的全部二进制位均为数值位，没有符号位，相当于数的绝对值。

以 1001 1100 B 为例，其数值表示 156D

重点：n 位无符号数的表示范围：$0\to2^n-1$

如果以 8 bit 为最大位数，那么可表示的范围就是 0 到 255

一般无符号数没有小数，只有整数。可从 C 语言的变量定义 unsign int 看出。

2.3. 有符号数#

定点整数的表示：我们一般都约定（默认）小数点位于数值部分最低位后面，然后有效数值部分的前一位置为符号位

定点小数的表示：我们一般都约定（默认）小数点位于数值部分最高位后面，然后有效数值部分的前一位置为符号位

由于符号位在最高位，故我们也称数值部分为 “尾数”

Note：在计算机里，一个有符号数定点数据是分为整数和小数两部分独立存储的，小数点的位置是人为约定的，计算机里并没有‘小数点’这种东西。因此无需关系它是整数还是小数，重点应该是尾数和符号位

以下介绍定点有符号数的四种表示方法。

2.3.1. 原码#

用尾数表示真值的绝对值，用符号位的 “0/1” 表示“正/负”

请注意红框部分，实际上数值为 10011，多出的 “1，” 部分是为了更清晰地表示这个数的正负性，人为加上的，千万不要带入数值部分。

重点：原码可表示的数值范围。

若机器字长 n+1 位，原码整数的表示范围：$-(2^n-1)\leq x \leq 2^n -1$，因为真值的 “0” 有 +0 和 -0 两种形式，因此最终的数值范围会减一

如果字长 n + 1，小数的表示范围为：$-(1-2^{-n})\leq x \leq 1-2^{-n}$，绝对值范围为：$0 \to 1-2^{-n}$

2.3.2. 反码#

• 符号位是 0（正数），反码和原码相同
• 符号位是 1，数值部分全部取反

2.3.3 补码#

• 正数的补码就是原码
• 负数的补 = 反码末位 + 1

重点：

1. 补码的表示范围：
   • 整数：$-2^n \leq x \leq 2^n-1$
   • 小数：$-1 \leq x \leq 1-2^{-n}$
2. 负数的原码、补码间的相互转换 $\to$ 尾数取反，末位加一

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补码的表示范围推导、补码与原码的范围关系，正负 0 为什么在补码里用同一种形式存储这三个问题的解决请看这篇文章 ↗

2.3.4 移码#

移码：补码的基础上将符号位取反。

注意：移码只能用于表示整数

移码和补码一一映射。

小结#

原码：使用最高位的符号位的 “0/1” 表示 “正/负”

反码：正数和原码相同，负数则尾数取反，符号位不变

补码：正数和原码相同，负数则尾数取反 + 1（反码 + 1）

移码：在补码基础上，符号位取反

2.4. 习题#

3. C 语言中的整数类型及类型转换#

• 短整型：short，高位截断，保留低位 16 位
• 整型：int，32 位
• 长整型：long 在 32 位系统里为 32 位，63 位系统里为 64 位

• 蓝色：同位数下，无符号数与有符号数之间的转换。实际上就是把最高位是否看作符号位的转换
• 绿色：把长整型转为短整型，高位截断，保留低位
• 红色：符号扩展与零扩展。
  • 零扩展：当处理的数为无符号数时，高位直接补 0
  • 符号扩展：处理符号数时，依据符号位的正负（0/1）扩展高位。如果是 0（正数）则全补 0，负数同理。

图中示例的红色方框部分：

1. 符号数 x 的符号位为 1，扩展为 4 字节时，高位全补 1
2. n 对 x 进行同位数转换，变为无符号数
3. p 是执行的零扩展（无符号数）