第四章习题与知识

🥰开始之前#

1. 第四章讲什么#

第四章的核心是模拟通信系统。它研究的是如何将一个连续的、模拟的基带信号（比如人的语音、音乐）“搭载”到一个高频的正弦波（即载波）上，以便在无线信道中高效传输。这个“搭载”的过程，就是调制

2. 在做什么？#

本章系统地介绍了两种最主要的模拟调制技术：

• 幅度调制 (AM): 让载波的振幅随基带信号变化
• 角度调制 (FM/PM): 让载波的频率或相位随基带信号变化

对于每一种技术，本章都会从理论到实践进行剖析： 从数学表达式出发，分析其在时域（波形）和频域（频谱）的特性，讨论如何构建相应的调制器（产生）和解调器（恢复），最后评估它在有噪声干扰的真实环境下的表现好坏（抗噪声性能）

3. 要掌握什么？#

根据考纲，需要掌握的核心能力是：

• 理解“为什么”：理解调制的根本目的（例如，便于天线辐射、实现信道复用等）
• 掌握“是什么”：对于每种调制方式（DSB-SC, AM, SSB, FM, PM），必须掌握其：
  • 时域表达式：能写出数学公式
  • 时域波形：能根据基带信号画出已调信号的大致波形
  • 频域频谱：能根据基带信号频谱画出已调信号的频谱
  • 关键参数：理解并会计算带宽、功率等
• 掌握“怎么办”：了解各种调制信号的产生和解调的基本原理（例如，DSB-SC 用相乘器调制、相干解调；AM 用加法器和相乘器调制、包络检波解调）
• 学会“比一比”：能够对比不同调制方式的优缺点，特别是它们的带宽占用、功率效率和抗噪声性能

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4. 考点解析：这些考点在考什么？#

| 10 | 4.2 | DSB-SC、AM、SSB#

这部分考的是线性调制，核心是“乘法”

• 考什么？
  1. 表达式、波形与频谱： 这是必考点。会给你一个简单的基带信号 $m(t)$（如正弦波、三角波），要求你：
     • 写出并画出 DSB-SC、AM、SSB 调制后的时域波形 $s(t)$。关键：DSB-SC 的过零相变，AM 的包络与 $m(t)$ 的关系
     • 写出并画出 $s(t)$ 的频谱 $S(f)$。关键：DSB-SC 和 AM 的带宽都是基带的 2 倍，SSB 的带宽与基带相同
  2. 功率计算： 计算已调信号的总功率、边带功率和载波功率（特指 AM）。这直接关系到调制效率——有多少功率真正用于传输信息。题目会让你计算 AM 的效率并理解为什么它比 DSB-SC 效率低
  3. 解调原理：
     • 相干解调（同步检波）： DSB-SC 和 SSB 必须使用。考点在于理解为什么需要一个与发射端同频同相的本地载波。如果存在频率或相位误差会发生什么？
     • 包络检波： AM 可以使用（在满足特定条件下）。考点在于理解其实现简单（一个二极管+RC 电路即可），以及为什么 AM 信号的包络可以复现原始信号

| 11 😅 | 4.3 | FM 与 PM、卡松公式#

这部分考的是角度调制，核心是“频率/相位变化”

• 考什么？
  1. FM 与 PM 的关系： 给你一个基带信号 $m(t)$，要求你分别写出 FM 和 PM 信号的时域表达式。关键在于区分：
     • PM（调相）：瞬时相位与 $m(t)$ 成正比
     • FM（调频）：瞬时频率与 $m(t)$ 成正比，因此瞬时相位与 $m(t)$ 的积分成正比 题目会考查如何用一个 PM 调制器产生 FM 信号（先对 $m(t)$ 积分），反之亦然
  2. 🤤带宽估算——卡松公式 (Carson’s Rule)： 这是角度调制的计算重点。FM/PM 理论上带宽无限，工程上必须估算其有效带宽
     • 考法： 给你基带信号的带宽 $f_m$ 和最大频偏 $\Delta f$，要求你用卡松公式 $B_{FM} \approx 2(\Delta f + f_m)$ 来计算传输带宽。这是非常经典的计算题
     • 你还需要理解最大频偏 $\Delta f$ 是由基带信号的幅度决定的

| 12 | 4.4 | 抗噪声性能（不用背公式）#

既然不用背公式，那么这部分考的就是定性分析和概念理解

• 考什么？

  1. 性能排序： 让你比较各种模拟调制系统的抗噪声性能。

     🤤你必须记住总的结论：在信道信噪比较高时，宽带 FM (WBFM) > PM > SSB/DSB > AM

  2. 门限效应： 这是 FM 系统特有的一个重要概念。

     考点是：

     • 是什么： 当输入信噪比降低到一个“门限值”以下时，FM 解调器的输出信噪比会急剧恶化，而不是线性下降
     • 为什么： 这是由 FM 的非线性解调特性决定的

  3. 预加重与去加重： 这是提升 FM 系统抗噪声性能的工程技巧

     考点是：

     • 是什么：在发送端，用一个**高通滤波器（预加重）提升基带信号高频分量的幅度；在接收端，用一个匹配的低通滤波器（去加重）**将其恢复
     • 为什么：因为 FM 解调后的噪声功率谱是抛物线形的（高频段噪声大），这种操作可以有效抑制高频噪声，改善整体输出信噪比

| 13 | 4.5 | FDM 基本概念----了解即可#

这部分考的是一种经典的多路复用技术

• 考什么？
  1. 核心思想：理解频分复用 的原理，即把可用的信道总带宽分割成若干个互不重叠的子信道，每一路信号占用一个子信道进行传输。关键词：频谱搬移、并行传输。
  2. 系统框图：可能会给出 FDM 发射机或接收机的框图，让你识别其中各个模块的作用，比如子载波调制器、带通滤波器、主载波调制器等。
  3. 频谱结构：让你画出多路信号复用后的复合信号频谱图。关键是画出各个子信道并排排列，并且在它们之间留有**保护带宽 **，以防止相互干扰

1. 考点：框图#

• 1.1 在考什么知识点？

  这在考查你对各种调制和解调系统实现原理的理解。它要求你不仅知道公式，还要知道这些公式是如何通过硬件（或功能模块）搭建起来的。这对应考纲中的信号产生和解调部分

• 1.2 知识点介绍

  • 定义： 框图是用标准化的图形符号（如乘法器、加法器、滤波器、振荡器）来表示信号处理流程的示意图

  • 作用： 将复杂的调制解调过程，分解为一系列基本操作的组合，清晰地展示信号的流向和变换过程

  • 考点公式/核心原理：

    • DSB-SC/AM 调制： 核心是乘法器；$m(t)$ 与 $\cos(\omega_c t)$ 相乘。

      AM 则是在 $m(t)$ 上先叠加一个直流分量 $A_c$ 再相乘，即

      $$s_{AM}(t) = [A_c + m(t)]\cos(\omega_c t)$$

    • SSB 调制： 有两种方法。滤波法（DSB 信号 -> 带通滤波器 BPF）和相移法（利用希尔伯特变换器构造 $m(t)$ 的正交信号 $\hat{m}(t)$）

    • 相干解调： 核心是本地载波再生（如 Costas 环）+ 乘法器 + 低通滤波器 (LPF)。将接收信号 $s(t)$ 乘以一个与发射端同频同相的本地载波，再通过 LPF 滤除高频分量，即可恢复基带信号

    • FM 调制： 核心是压控振荡器 (VCO)，其输出频率直接受基带信号 $m(t)$ 的电压控制

    • FM 解调： 核心是鉴频器（如微分器+包络检波器）或锁相环 (PLL)，作用是将信号的频率变化转换回幅度变化

2. 考点：复包络#

• 2.1 在考什么知识点？

  这在考查你使用解析信号这一数学工具来分析带通信号的能力。复包络是带通系统等效基带分析法的基础，是更高等和更本质的分析方法。

• 2.2 知识点介绍

  • 定义： 一个实带通信号 $s(t)$ 的复包络 $s_L(t)$ 是一个等效的复数低通信号，它包含了 $s(t)$ 的全部信息（幅度和相位）
  • 作用： 将一个高频的带通信号分析，简化为对一个低频的复信号的分析，极大简化了带通滤波器、放大器等系统的数学处理
  • 考点公式：
    • 基本关系: $s(t) = \text{Re}[s_L(t)e^{j2\pi f_c t}]$
    • DSB-SC: $s(t) = m(t)\cos(2\pi f_c t) \implies s_L(t) = m(t)$
    • AM: $s(t) = [A_c + k_a m(t)]\cos(2\pi f_c t) \implies s_L(t) = A_c + k_a m(t)$
    • SSB (LSB 为例): $s_{LSB}(t) = \frac{1}{2}[m(t)\cos\omega_c t + \hat{m}(t)\sin\omega_c t] \implies s_L(t) = \frac{1}{2}[m(t) - j\hat{m}(t)]$
    • FM: $s(t) = A_c \cos(2\pi f_c t + 2\pi k_f \int m(\tau)d\tau) \implies s_L(t) = A_c e^{j2\pi k_f \int m(\tau)d\tau}$

3. 考点：功率谱分析#

• 3.1 在考什么知识点？

  这在考查你对已调信号在频域的特性的理解，特别是功率是如何在不同频率上分布的。这是衡量带宽和效率的基础

• 3.2 知识点介绍

  • 定义：功率谱密度 (PSD) $P_s(f)$ 描述了信号功率在频域的分布情况
  • 作用：直观地展示信号的带宽、功率构成（载波功率、边带功率），是进行信道规划和滤波器设计的依据
  • 考点公式（$P_m(f)$ 是基带信号 $m(t)$ 的功率谱）：
    • DSB-SC: $P_{DSB}(f) = \frac{A_c^2}{4}[P_m(f-f_c) + P_m(f+f_c)]$ (基带谱的简单搬移)
    • AM: $P_{AM}(f) = \frac{A_c^2}{4}[\delta(f-f_c) + \delta(f+f_c)] + \frac{A_c^2 k_a^2}{4}[P_m(f-f_c) + P_m(f+f_c)]$ (比 DSB 多了载波处的冲激分量)
    • SSB: $P_{SSB}(f)$ 是将 DSB 谱砍掉一半得到的
    • FM: 这是一个难点。其功率谱不是简单的搬移，通常很复杂，依赖于调制指数。考试一般不要求精确计算，但要求理解其带宽由卡松公式确定。

4. 考点：带宽#

• **4.1 在考什么知识点？

  这是功率谱分析的直接应用，考查你计算各种调制信号信道占用的能力。带宽是通信系统中最宝贵的资源之一

• 4.2 知识点介绍

  • 定义：信号频谱的有效宽度
  • 作用：决定了传输该信号所需要的信道宽度，是进行频率分配和多路复用的基本参数
  • 考点公式（设基带信号带宽为 $W$）：
    • DSB-SC: $B = 2W$
    • AM: $B = 2W$
    • SSB: $B = W$ (最节省带宽)
    • FM: 卡松公式 $B_{FM} \approx 2(\Delta f + W)$ (其中 $\Delta f$ 是最大频偏)

5. 考点：调制指数#

• 5.1 在考什么知识点？

  考查你对一个关键参数的理解，该参数量化了调制的深度，并直接影响已调信号的特性和性能

• 5.2 知识点介绍

  • 定义： 衡量基带信号对载波参数（幅度或频率）影响程度的无量纲数

  • 作用： 在 AM 中，它决定了包络是否失真以及调制效率。在 FM 中，它决定了信号是宽带还是窄带，直接影响带宽和抗噪声性能

  • 考点公式：

    • AM 调制指数:

      $$\beta_{AM} = k_a \max|m(t)|$$

      为保证不失真的包络检波，要求 $\beta_{AM} \le 1$。

    • FM 调制指数 (调频指数/Deviation Ratio):

      $$\beta_{FM} = \frac{\Delta f}{W}$$

      其中 $\Delta f = k_f \max|m(t)|$ 是最大频偏

      • $\beta_{FM} \ll 1$ 称为窄带 FM (NBFM)，带宽 $\approx 2W$。
      • $\beta_{FM} \gg 1$ 称为宽带 FM (WBFM)，带宽 $\approx 2\Delta f$。

6. 考点：可靠性分析#

• 6.1 在考什么知识点？

  这直接对应考纲中的抗噪声性能。考查你对不同调制系统在噪声信道中表现优劣的定性理解和比较能力。

• 6.2 知识点介绍

  • 定义：分析和比较在相同的信道噪声环境下，不同调制解调系统输出信噪比 (SNR) 的能力。

  • 作用：指导在特定应用场景下选择最合适的调制方式。例如，高保真广播选择 WBFM，而节省带宽的语音通信选择 SSB。

  • 考点公式/核心概念（不用背公式，但要懂概念）：

    • 调制增益 $G$:

      $$G = \text{SNR}_{out} / \text{SNR}_{ch}$$

      是衡量系统性能的核心指标

    • 性能排序:

      在信噪比较好时，WBFM 的抗噪声性能最好（用带宽换性能），SSB 和 DSB 次之（$G=1$），AM 最差（因为部分功率浪费在载波上，调制效率 $< 1/3$）

    • 门限效应:

      FM 系统特有。当信道信噪比低到某个门限值以下时，其抗噪声性能优势会迅速丧失，性能急剧恶化。这是其“用带宽换性能”策略的代价

🤔调制方法#

开始之前，先介绍五种常见的调制方式，以 “定义” $\Rightarrow$ “实现方法”介绍。

🥰线性调制 (Amplitude Modulation Family)#

这类调制的共同点是，已调信号的频谱结构是基带信号频谱的线性搬移，调制过程是线性的。

1. DSB-SC (Double Sideband Suppressed Carrier)#

• 含义：双边带抑制载波调幅

  “最纯粹的幅度调制”

  它的核心思想是： 让已调信号的振幅完全正比于基带信号 $m(t)$ 的瞬时值

  当 $m(t)$ 为正时，已调信号与基准同相；当 $m(t)$ 从正变为负时，已调信号 $s_{DSB}(t)$ 的相位会发生 180°的突变。

  因为频谱中没有单独的载波分量，所有功率都在携带信息的边带上，故称为 “抑制载波” 。

  

• 调制方法：相乘器法

  实现方法非常直接：将基带信号 $m(t)$ 与载波信号 $\cos(2\pi f_c t)$ 用一个乘法器直接相乘。

  $$s_{DSB}(t) = m(t) \cdot A_c \cos(2\pi f_c t)$$

2. AM (Amplitude Modulation)#

• 含义：(标准)调幅

  这是最传统、最广为人知的调幅方式（例如中波广播）。

  为了让解调变得极其简单，它在调制时，先给基带信号 $m(t)$ 叠加一个足够大的直流偏置 $A_c$，保证 $[A_c + m(t)]$ 永远为正。

  也就是将基带信号的 0 参考点抬高，进而达到 $m(t)$负半部分被抬到 $y=0$以上、相位不会反转的目的。

  这样，已调信号的包络就可以完整地复现出基带信号 $m(t)$ 的波形，不会出现相位反转，而且调制信号振幅的与载波的包络成正比

  

• 调制方法：加法器 + 相乘器

  将基带信号 $m(t)$ 与一个直流分量 $A_c$ 相加，然后送入乘法器与载波相乘：

  $$s_{AM}(t) = [A_c + m(t)] \cos(2\pi f_c t)\\ 引入调幅系数\beta： s_{AM}(t) = A_c[1 + \beta m_n(t)] \cos(2\pi f_c t)$$

  其中，必须满足 $A_c \ge |m(t)|_{\max}$ 以避免包络失真；$m_n(t)$是归一化后的基带信号

3. SSB (Single Sideband)#

• 含义：单边带调幅

  为了节省带宽而设计的幅度调制

  DSB-SC 信号的频谱关于载频是对称的，上边带和下边带携带完全相同的信息。

  SSB 的思想就是： 既然信息是冗余的，那么只传输其中一个边带（上边带 USB 或 下边带 LSB），同时抑制掉载波和另一个边带，这样就能将带宽占用减半

• 调制方法：滤波法 或 相移法

  1. 滤波法： 先产生一个 DSB-SC 信号，然后用一个非常陡峭的带通滤波器，滤除掉不想要的那个边带

  2. 相移法： 利用数学技巧，通过希尔伯特变换产生基带信号的正交版本 $\hat{m}(t)$，然后按特定方式组合：

     $$s_{SSB}(t) = m(t)\cos(2\pi f_c t) \mp \hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)$$

     (减号对应上边带 USB，加号对应下边带 LSB)

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😵‍💫角度调制 (Angle Modulation Family)#

这类调制的共同点是，已调信号的幅度恒定，信息是通过改变载波的角度（频率或相位）来承载的。它们是非线性调制。

4. 🤯FM (Frequency Modulation)#

• 含义：调频

  调频的核心思想是：让载波的瞬时频率偏离中心频率 $f_c$ 的大小，与基带信号 $m(t)$ 的瞬时幅度成正比。

  基带信号幅度越大，频率偏移就越大；基带信号幅度为零，频率就回到中心频率 $f_c$

• 调制方法：压控振荡器 (VCO) 或 积分+调相

  载波的瞬时相位是瞬时频率的积分。因此，其数学表达式为：

  $$s_{FM}(t) = A_c \cos \left( 2\pi f_c t + 2\pi k_f \int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau \right)$$

  其中 $k_f$ 是调频灵敏度。最直接的产生方式就是使用一个压控振荡器 (VCO)，其输出频率直接由输入电压 $m(t)$ 控制

5. 🤯PM (Phase Modulation)#

• 含义：调相

  调相的核心思想是：让载波的瞬时相位偏离其基准相位的大小，与基带信号 $m(t)$ 的瞬时幅度成正比。基带信号幅度越大，相位偏移就越大

• 调制方法：直接调相 或 微分+调频

  载波的瞬时相位直接随 $m(t)$ 变化。

  $$s_{PM}(t) = A_c \cos \left( 2\pi f_c t + k_p m(t) \right)$$

  其中 $k_p$ 是调相灵敏度。

  FM 与 PM 的联系：对比两者的数学表达式可以发现，如果将基带信号 $m(t)$ 先积分再进行 PM 调制，得到的结果就是一个 FM 信号。反之，如果将 $m(t)$ 先微分再进行 FM 调制，得到的就是一个 PM 信号。它们是微积分的对偶关系

假设基带信号为 $m(t)$，其带宽为 $W$，傅里叶变换为 $M(f)$，希尔伯特变换为 $\hat{m}(t)$。

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4-1#

题目 4.1：将模拟信号 $m(t) = \sin(2\pi f_m t)$ 与载波 $c(t) = 2\cos(2\pi f_c t)$ 相乘得到双边带抑制载波 (DSB-SC) 信号 $s(t) = m(t)c(t)$，已知 $f_c = 4f_m$。 (1) 画出 $s(t)$ 的信号波形图； (2) 写出 $s(t)$ 的傅里氏变换，画出其振幅频谱图。

1. 相关知识点介绍#

1. 幅度调制 (Amplitude Modulation, AM):

幅度调制是一种基本的模拟调制技术，其核心思想是让高频载波信号的幅度随着低频基带信号（即消息信号）的变化而变化。这样，低频的信息就被“承载”到了高频载波上，从而适合在信道中进行远距离传输

2. 双边带抑制载波调幅 (DSB-SC):

这是最基础的线性幅度调制方式。它的实现方式就是将基带信号 $m(t)$ 与载波信号 $\cos(2\pi f_c t)$ 直接相乘：

$$s(t) = A_c m(t) \cos(2\pi f_c t)$$

其特点如下：

• 时域特性: 调制后信号的包络不再是原始信号 $m(t)$，而是其绝对值 $|m(t)|$。当 $m(t)$ 穿过零点（即从正变负或从负变正）时，载波的相位会发生 180° 的反转；这是 DSB-SC 在时域波形上的最显著特征
• 频域特性: 根据傅里叶变换的调制定理，基带信号的频谱 $M(f)$ 会被搬移到载波频率 $\pm f_c$ 处；如果基带信号带宽为 $W$，则调制后信号的带宽为 $2W$，占据了中心频率 $f_c$ 上下的两个边带，因此称为“双边带”
• “抑制载波”: 在调制后的信号频谱中，不存在对应于载波频率 $f_c$ 的冲激分量（除非基带信号本身含有直流分量）；这意味着载波本身没有被传输，所有的功率都用于传输携带信息的边带，因此功率利用率高。

在知识清单中，本题完全对应于：

• 模拟通信系统 — 幅度、相位调制 -> 幅度调制
  • 1. 双边带抑制载波调幅 (DSB-SC AM)
  • 幅度调制原理
  • DSB-SC AM -> 1. 确定信号调制

2. 使用的公式#

1. 三角恒等式 (积化和差):

   $$\sin(A)\cos(B) = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$$

2. 傅里叶变换对:

   $$\sin(2\pi f_0 t) \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{2j}[\delta(f-f_0) - \delta(f+f_0)]$$

3. 傅里叶变换调制定理 (等效方法):

   $$m(t)\cos(2\pi f_c t) \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{2}[M(f-f_c) + M(f+f_c)]$$

3. 解题思路和步骤#

(1) 绘制信号波形图#

1. 写出 $s(t)$ 的表达式:

   $$s(t) = m(t)c(t) = \sin(2\pi f_m t) \cdot 2\cos(2\pi f_c t) \\ s(t) = 2\sin(2\pi f_m t) \cos(2\pi f_c t)$$

2. 分析波形特征:

   • 包络: 信号的包络是 $2|m(t)| = 2|\sin(2\pi f_m t)|$；这是一个全波整流后的正弦波形状。

     包络指的是信号的外围形状，即载波被限制在包络里面，包络是信号幅值的函数描述；包络是一条光滑的曲线，它勾勒出高频振荡信号的波峰（或外形轮廓）

     例如

     

     红色虚线就是包络，包络的为正反两个方向（共轭），所包围的内部蓝色信号就是载波。

   • 载波: 内部振荡是高频载波 $\cos(2\pi f_c t)$；由于 $f_c=4f_m$，在一个基带信号周期 $T_m$ 内，恰好有 4 个载波周期。

   • 相位反转:

     • 当 $\sin(2\pi f_m t) > 0$ 时（例如在 $0 < t < T_m/2$），$s(t)$ 的相位与 $\cos(2\pi f_c t)$ 相同。
     • 当 $\sin(2\pi f_m t) < 0$ 时（例如在 $T_m/2 < t < T_m$），$s(t)$ 的相位与 $\cos(2\pi f_c t)$ 相反，即发生 180° 相位反转。

3. 绘图:

   • 先画出包络线 $y = 2\sin(2\pi f_m t)$ 和 $y = -2\sin(2\pi f_m t)$ 作为辅助线
   • 在 $t=0$ 到 $t=T_m/2$ 区间内，画出 2 个周期的、幅值变化的余弦波
   • 在 $t=T_m/2$ 处，基带信号过零，载波发生相位反转
   • 在 $t=T_m/2$ 到 $t=T_m$ 区间内，画出 2 个周期的、相位反转的（即 $-\cos$ 形状）、幅值变化的余弦波

(2) 傅里氏变换与振幅频谱图#

1. 对 $s(t)$ 应用积化和差公式:

   $$s(t) = 2\sin(2\pi f_m t)\cos(2\pi f_c t) \\ s(t) = \sin(2\pi f_m t + 2\pi f_c t) + \sin(2\pi f_m t - 2\pi f_c t)$$

   利用 $\sin(-x) = -\sin(x)$:

   $$s(t) = \sin(2\pi(f_c+f_m)t) - \sin(2\pi(f_c-f_m)t)$$

2. 求傅里氏变换 $S(f)$:

   我们对上式中的两项分别进行傅里氏变换

   • $\mathcal{F}[\sin(2\pi(f_c+f_m)t)] = \frac{1}{2}[\delta(f-(f_c+f_m)) - \delta(f+(f_c+f_m))]$
   • $\mathcal{F}[-\sin(2\pi(f_c-f_m)t)] = -\frac{1}{2}[\delta(f-(f_c-f_m)) - \delta(f+(f_c-f_m))]$

   合并得到 $S(f)$:

   $$S(f) = \frac{1}{2}[\delta(f-(f_c+f_m)) - \delta(f+(f_c-f_m)) - \delta(f+(f_c-f_m)) + \delta(f+(f_c+f_m))]$$

3. 画出振幅频谱图 $|S(f)|$:

   从 $S(f)$ 的表达式可以看出，频谱由四个冲激函数组成

   • 位置: 它们分别位于 $\pm(f_c+f_m)$ 和 $\pm(f_c-f_m)$
   • 幅度: 每个冲激项的系数是 $\pm \frac{1}{2}$。其振幅（模值）为 $|\pm \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$

   频谱图如下：

   • 在横轴（频率 $f$）上，标记出 $\pm(f_c-f_m)$ 和 $\pm(f_c+f_m)$ 四个点
   • 在这四个点上，分别画一个高度为 $1/2$ 的向上箭头，代表冲激
   • 这就是已调信号的双边带频谱，它由代表上边带 (USB) 的 $f_c+f_m$ 和代表下边带 (LSB) 的 $f_c-f_m$ 及其共轭分量组成

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DSB-SC 调制系统介绍#

1. 定义#

双边带抑制载波 (DSB-SC) 是一种线性幅度调制技术

其核心思想是：将基带消息信号 $m(t)$ 与一个高频正弦载波 $c(t)$ 直接相乘，从而将消息信号的频谱搬移到以载波频率为中心的位置。

数学定义如下：

$$s_{DSB}(t) = m(t) \cdot c(t) = A_c m(t) \cos(2\pi f_c t)$$

其中：

• $m(t)$: 基带信号（携带信息）
• $c(t) = A_c \cos(2\pi f_c t)$: 载波信号，$A_c$ 是载波幅度，$f_c$ 是载波频率
• $s_{DSB}(t)$: 已调制的 DSB-SC 信号

2. 关键参数#

(1) 带宽 (Bandwidth, $B_{DSB}$)#

• 定义: 已调信号所占据的频率范围
• 作用: 衡量信号占用的信道资源。带宽越宽，能传输的信息速率通常越高，但占用的频谱资源也越多
• 计算: 如果基带信号 $m(t)$ 的最高频率为 $W$（即带宽为 $W$），那么 DSB-SC 信号的频谱会以 $f_c$ 为中心，占据从 $f_c-W$ 到 $f_c+W$ 的范围 $$B_{DSB} = (f_c+W) - (f_c-W) = 2W$$ 结论: DSB-SC 信号的带宽是原始基带信号带宽的两倍

(2) 功率 (Power, $P_s$)#

• 定义: 已调信号的平均功率
• 作用: 衡量信号的强度，直接影响信号的传输距离和抗噪声能力
• 计算: 假设 $m(t)$ 的平均功率为 $P_m = E[m^2(t)]$，则 DSB-SC 信号的功率为： $$P_s = E[s^2(t)] = E[A_c^2 m^2(t) \cos^2(2\pi f_c t)]$$ 由于 $\cos^2(\theta) = \frac{1}{2}(1+\cos(2\theta))$，且高频项的期望为 0，我们得到： $$P_s = \frac{A_c^2}{2} E[m^2(t)] = \frac{A_c^2}{2} P_m$$ 结论: DSB-SC 信号的总功率与基带信号的功率成正比

(3) 调制效率 (Modulation Efficiency, $\eta$)#

• 定义: 承载信息的边带功率 (Sideband Power) 占总发射功率的比例。
• 作用: 衡量发射功率的利用效率。效率越高，意味着越少的功率被浪费在不携带信息的成分（如载波）上。
• 计算: 在 DSB-SC 中，由于载波被“抑制”，理论上没有功率分配给载波分量。所有的功率 $P_s$ 都在边带中。 $$\eta = \frac{P_{\text{sideband}}}{P_{\text{total}}} = \frac{P_s}{P_s} = 1$$ 结论: DSB-SC 的调制效率是 100%。这是它相比于标准 AM 调制的最大优点。

3. 解调方法#

DSB-SC 信号的包络不再是原始信号 $m(t)$，因此不能使用简单的包络检波器。它必须使用相干解调 或称为同步解调

该方法分为两步：

1. 乘以同步载波: 将接收到的信号 $s(t)$ 乘以一个与发射端载波完全同频同相的本地载波

   $$v(t) = s(t) \cdot \cos(2\pi f_c t) = A_c m(t) \cos^2(2\pi f_c t)$$

   利用三角恒等式展开：

   $$v(t) = \frac{A_c}{2}m(t) + \frac{A_c}{2}m(t)\cos(4\pi f_c t)$$

   这个信号包含两部分：一个是我们想要的低频信号（按比例缩小的 $m(t)$），另一个是附着在高频 $2f_c$ 上的高频信号

2. 低通滤波 (LPF): 将 $v(t)$ 通过一个截止频率为 $W$ 的低通滤波器，滤除高频分量。

   $$y(t) = \text{LPF}[v(t)] = \frac{A_c}{2}m(t)$$

   输出 $y(t)$ 就是原始基带信号的等比例恢复

相干解调的挑战:

该方法对本地载波的频率和相位精度要求极高。如果本地载波与发射载波存在相位差 $\phi$，即为 $\cos(2\pi f_c t + \phi)$，那么解调输出会变为：

$$y(t) = \frac{A_c}{2}m(t)\cos(\phi)$$

• 输出信号幅度会衰减 $\cos(\phi)$ 倍。
• 当相位差 $\phi = 90^\circ$ 时，$\cos(90^\circ)=0$，输出信号完全消失。这种现象称为正交零效应，是 DSB-SC 系统的主要缺点

4. 解题常用参数和公式总结#

• 时域表达式:

  $$s(t) = A_c m(t) \cos(2\pi f_c t)$$

• 频域表达式 (傅里氏变换):

  $$S(f) = \frac{A_c}{2}[M(f-f_c) + M(f+f_c)]$$

• 带宽:

  $$B = 2W \quad (W \text{ 是 } m(t) \text{ 的带宽})$$

• 总功率:

  $$P_s = \frac{A_c^2}{2} P_m \quad (P_m \text{ 是 } m(t) \text{ 的平均功率})$$
  1. 如果$m(t)$是随机信号：
     1. 对功率谱密度进行积分
     2. 自相关函数$R_s(0)$
     3. $|m(t)|^2$是功率信号的瞬时功率
  2. 如果是确定信号：
     1. 使用功率的计算式：一周期 T 后取极限

• 调制效率:

  $$\eta = 100\%$$

• 相干解调 (理想情况):

  $$y(t) = k \cdot m(t) \quad (k \text{ 是一个常数})$$

• 相干解调 (有相位差 $\phi$):

  $$y(t) = k \cdot m(t)\cos(\phi)$$

---

4-2#

题目 4.2：设有 AM 信号 $s(t) = 2\cos(2000\pi t) + 8\cos(2200\pi t) + 2\cos(2400\pi t)$。试求： (1) $s(t)$ 的傅里氏变换； (2) $s(t)$ 的复包络 $s_L(t)$； (3) 该 AM 信号的调幅系数、调制效率。

1. 相关知识点介绍#

1. 具有离散大载波的双边带调幅:

与 DSB-SC 不同，标准 AM 信号在传输时会保留一个强大的载波分量

其标准时域表达式为：

$$s(t) = A_c[1 + \beta m_n(t)] \cos(2\pi f_c t)$$

其中 $A_c$ 是载波幅度，$m_n(t)$ 是归一化的基带信号 ($|m_n(t)| \le 1$)，$\beta$ 是调幅系数

当基带信号是单音余弦 $m_n(t)=\cos(2\pi f_m t)$ 时，上式展开为：

$$s(t) = A_c\cos(2\pi f_c t) + \frac{A_c\beta}{2}\cos(2\pi(f_c-f_m)t) + \frac{A_c\beta}{2}\cos(2\pi(f_c+f_m)t)$$

这个展开式由三部分组成：一个中心载波和对称分布在载波两侧的上、下边带。本题给出的正是这种形式。

单音：单一频率的形象化描述

2. 复包络 ($s_L(t)$):

对于标准 AM 信号 $s(t) = A_c[1 + \beta m_n(t)] \cos(2\pi f_c t)$，它没有正交分量，即 $s_s(t)=0$。其同相分量 $s_c(t)$ 就是信号的包络 $A_c[1 + \beta m_n(t)]$

因此，标准 AM 信号的复包络是一个实函数：

$$s_L(t) = s_c(t) = A_c[1 + \beta m_n(t)]$$

3. 调幅系数 (Modulation Index, $\beta$):

也称为调制深度，它衡量基带信号对载波幅度的影响程度。$\beta = \frac{\text{消息信号引起的最大幅度变化}}{\text{载波幅度}}$。为保证解调时不失真（即包络检波可行），要求 $\beta \le 1$。

4. 调制效率 ($\eta$):

调制效率定义为边带功率占总功率的比例

$$\eta = \frac{P_{SB}}{P_{Total}} = \frac{P_{SB}}{P_c + P_{SB}}$$

其中 $P_{SB}$ 是上下边带的总功率，$P_c$ 是载波功率。效率反映了发射功率中有多少比例是真正用于传输信息的。由于标准 AM 信号的载波功率 $P_c$ 很大且不携带信息，其调制效率通常较低。

在知识清单中，本题对应于：

• 模拟通信系统 -> 幅度调制 -> 2. 具有离散大载波的双边带调幅 (AM)
  • 包络调制 -> 1. AM 信号的表示
  • 包络调制 -> 2. AM 信号的频谱
• 模拟通信系统 -> 线性调制的抗噪声性能 -> 信噪比、调制增益 (调制效率是衡量性能的一个指标)

2. 使用的公式#

1. 傅里氏变换对:

   $$A\cos(2\pi f_0 t) \quad \Leftrightarrow \quad \frac{A}{2}[\delta(f-f_0) + \delta(f+f_0)]$$

2. 正弦信号功率:

   一个信号 $A\cos(2\pi f_0 t + \phi)$ 的平均功率为 $P = \frac{A^2}{2}$

3. 单音 AM 信号的调制效率:

   $$\eta = \frac{\beta^2}{2+\beta^2}$$

3. 解题思路和步骤#

(1) $s(t)$ 的傅里氏变换#

直接对 $s(t)$ 的三项分别应用傅里氏变换公式：

$$\mathcal{F}[2\cos(2000\pi t)] = \delta(f-1000) + \delta(f+1000)\\ \mathcal{F}[8\cos(2200\pi t)] = 4[\delta(f-1100) + \delta(f+1100)]\\ \mathcal{F}[2\cos(2400\pi t)] = \delta(f-1200) + \delta(f+1200)$$

将三者相加，得到 $S(f)$:

$$S(f) = 4[\delta(f-1100)+\delta(f+1100)] + [\delta(f-1000)+\delta(f+1000)] + [\delta(f-1200)+\delta(f+1200)]$$

这是一个由 6 个冲激组成的频谱

(2) $s(t)$ 的复包络 $s_L(t)$#

1. 识别载波和边带:

   观察信号的三个频率分量：1000 Hz, 1100 Hz, 1200 Hz。幅度最大的中心频率项是载波

   • 载波: $8\cos(2200\pi t)$ $\implies f_c=1100$ Hz, $A_c=8$
   • 边带: 1000 Hz 和 1200 Hz 分别是下边带和上边带，它们对称于载波频率，说明基带信号频率 $f_m = 1100 - 1000 = 100$ Hz

2. 重构为标准 AM 形式:

   利用三角恒等式 $\cos(A-B)+\cos(A+B) = 2\cos A \cos B$ 来合并边带

   $$2\cos(2000\pi t) + 2\cos(2400\pi t) = 2[\cos(2\pi(1100-100)t) + \cos(2\pi(1100+100)t)] \\ = 2[2\cos(2\pi(1100)t)\cos(2\pi(100)t)] = 4\cos(200\pi t)\cos(2200\pi t)$$

3. 写出完整的 $s(t)$ 表达式:

   将合并后的边带与载波项相加：

   $$s(t) = 8\cos(2200\pi t) + 4\cos(200\pi t)\cos(2200\pi t) \\ s(t) = [8 + 4\cos(200\pi t)]\cos(2200\pi t)$$

4. 确定复包络:

   将上式与标准形式 $s(t) = s_c(t)\cos(2\pi f_c t)$ 对比，可知同相分量为：

   $$s_c(t) = 8 + 4\cos(200\pi t)$$

   由于没有 $\sin(2\pi f_c t)$ 项，正交分量 $s_s(t)=0$

   因此，复包络为：

   $$s_L(t) = s_c(t) + js_s(t) = 8 + 4\cos(200\pi t)$$

(3) 调幅系数与调制效率#

1. 求调幅系数 $\beta$:

   将 $s(t)$ 的表达式 $s(t) = [8 + 4\cos(200\pi t)]\cos(2200\pi t)$ 与标准形式 $s(t) = A_c[1 + \beta \cos(2\pi f_m t)]\cos(2\pi f_c t)$ 对比

   先提出载波幅值 $A_c=8$:

   $$s(t) = 8[1 + \frac{4}{8}\cos(200\pi t)]\cos(2200\pi t) = 8[1 + 0.5\cos(200\pi t)]\cos(2200\pi t)$$

   直接可得调幅系数 $\beta = 0.5$

2. 求调制效率 $\eta$:

   方法一：直接计算功率

   • 载波功率 $P_c$:

     载波分量：$8\cos(2200\pi t)$

     载波幅度为 8, $P_c = \frac{8^2}{2} = 32$ W

   • 边带功率 $P_{SB}$:

     边带分量：$2\cos(2000\pi t)+2\cos(2400\pi t)$

     因为不同频率的正弦（或余弦）信号在时间上是相互正交的，所以它们的功率可以独立计算然后直接相加

     $$v_{SB}^2(t) = [2\cos(\omega_1 t) + 2\cos(\omega_2 t)]^2 \quad (\text{其中 } \omega_1=2000\pi, \omega_2=2400\pi)$$ $$\overline{m^2(t)} = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} v_{SB}^2(t) dt$$

     开出来会有两个常数项（有值）、两个二倍频 cos 项、一个交叉 cos 项（正交，计算会得到 0），

     因此有用的只有那两个常数项$1/2$

     上、下边带幅度均为 2。每个边带的功率为 $\frac{2^2}{2} = 2$ W。总边带功率 $P_{SB} = 2 + 2 = 4$ W

   • 总功率 $P_{Total}$: $P_{Total} = P_c + P_{SB} = 32 + 4 = 36$ W

   • 效率 $\eta$:

     $$\eta = \frac{P_{SB}}{P_{Total}} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \approx 11.1\%$$

   方法二：利用公式

   对于单音调制，已知 $\beta = 0.5$：

   $$\eta = \frac{\beta^2}{2+\beta^2} = \frac{(0.5)^2}{2+(0.5)^2} = \frac{0.25}{2+0.25} = \frac{0.25}{2.25} = \frac{1}{9}$$

   ---

AM 调制#

1. 定义#

幅度调制 (AM) 是一种将信息（基带信号）加载到高频载波上的技术

其核心思想是，使高频载波的瞬时幅度随着基带信号的幅度变化而线性变化，而载波的频率和相位保持不变

标准 AM 的实现方式是：

1. 将基带信号 $m(t)$ 与一个直流偏置 $A_0$ 相加，得到 $A_0 + m(t)$
2. 将这个叠加了直流的信号去乘以一个高频余弦载波 $\cos(\omega_c t)$

这个直流偏置 $A_0$ 的作用至关重要，它将整个基带信号的电平向上平移，目的是确保信号的包络 $A_0 + m(t)$ 始终为正，从而可以使用简单的包络检波方法进行解调

2. 参数#

1. $m(t)$ 基带信号，一个随时间变化的函数。比如 $m(t) = A_m \cos(2\pi f_m t)$。

2. $m^2(t)$ 这是信号的瞬时功率（假设负载电阻为 1 欧姆）。它表示在每一个时刻 t，信号的功率值是多少。由于是平方，这个值永远是非负的。

   • 例如，如果 $m(t) = A_m \cos(2\pi f_m t)$，那么 $m^2(t) = A_m^2 \cos^2(2\pi f_m t)$。这个值会随着时间快速波动

3. $\overline{m^2(t)}$

   这个上划线代表求时间平均。我们通常不关心瞬时功率，而是关心在一个较长时间段内的平均功率

   • 它的严格数学定义是：

     $$\overline{m^2(t)} = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} m^2(t) dt$$

   • 这个公式的意思是：计算信号瞬时功率 $m^2(t)$ 在一个很长的时间 $T$ 内的积分（总能量），然后再除以时长 $T$，得到平均值

1. 基带信号$m(t)$:

   • 也称为消息信号或调制信号，是需要传输的原始信息
   • 通常假设其均值为零，即 $\overline{m(t)} = 0$

2. 载波:

   • $c(t) = \cos(2\pi f_c t)$ 是高频正弦波
   • $f_c$ 是载波频率，远大于基带信号的最高频率 $f_{max}$

3. 直流偏置 $A_0$:

   • 它的大小决定了最终已调信号中载波分量的幅度
   • 为了防止过调制（见下文），必须满足条件 $A_0 \ge |m(t)|_{\max}$

4. 调幅系数$a$ (或 $\beta$):

   • 也叫调制深度，是衡量基带信号对载波幅度影响程度的关键参数

   • 定义为：

     $$a = \frac{|m(t)|_{\max}}{A_0}$$

   • $a < 1$ (欠调制): 信号包络 $A_0+m(t)$ 始终大于零，可以无失真地进行包络检波

   • $a = 1$ (100%调制): 信号包络的最小值恰好为零，是包络检波的临界状态

   • $a > 1$ (过调制): 信号包络会出现负值，导致已调信号在 $m(t)$ 过零点处发生相位反转，无法通过简单的包络检波恢复原信号，会产生严重失真

   也就是让整个信号的包络都处于 y 轴上方，要加的直流偏置自然要比信号 $m(t)$的极值还要大，避免相位反转。

3. 公式#

1. 时域表达式:

   $$s_{AM}(t) = [A_0 + m(t)] \cos(2\pi f_c t)$$

   为了更清晰地看到调幅系数，通常写成：

   $$s_{AM}(t) = A_0 [1 + \frac{m(t)}{A_0}] \cos(2\pi f_c t)$$

2. 频域表达式 (功率谱):

   $$S_{AM}(f) = \frac{A_0}{2}[\delta(f-f_c) + \delta(f+f_c)] + \frac{1}{2}[M(f-f_c) + M(f+f_c)]$$

   • 载波分量: $\frac{A_0}{2}[\delta(f-f_c) + \delta(f+f_c)]$，是在频率 $\pm f_c$ 处的两个冲激，代表未被调制的载波

   • 边带分量: $\frac{1}{2}[M(f-f_c) + M(f+f_c)]$，是原始基带频谱 $M(f)$ 搬移到 $\pm f_c$ 处形成的上、下边带

     

3. 功率:

   • 载波功率:

     $$P_c = \frac{A_0^2}{2}$$

   • 边带功率:

     $$P_{SB} = \frac{\overline{m^2(t)}}{2}$$

   • 总功率:

     $$P_{Total} = P_c + P_{SB} = \frac{A_0^2 + \overline{m^2(t)}}{2}$$

4. 调制效率 ($\eta$):

   定义为边带功率占总功率的比例，反映了功率的利用效率

   $$\eta = \frac{P_{SB}}{P_{Total}} = \frac{\overline{m^2(t)}}{A_0^2 + \overline{m^2(t)}}$$

   对于单音正弦基带信号 $m(t) = A_m \cos(2\pi f_m t)$，调幅系数 $a = A_m/A_0$，此时效率为 $\eta = \frac{a^2}{2+a^2}$

   即使在 100% 调制 (a=1) 的最优情况下，效率也只有 $1/3 \approx 33.3\%$，大部分功率消耗在不携带信息的载波上

4. 作用#

1. 频谱搬移: 将低频的基带信号搬移到高频信道中，实现无线电发射，并允许频分复用 (FDM)，即不同的电台使用不同的载波频率进行广播而互不干扰
2. 简化解调: AM 调制的最大优点是解调极其简单。通过保留一个强大的载波，保证了信号包络与原始信号形状一致，使得接收机可以采用非常廉价的包络检波器，极大地降低了接收机制造成本，这也是 AM 广播能够普及的关键

5. 解调方法#

1. 包络检波:

   • 适用条件: 标准 AM 信号且未过调制 ($a \le 1$)。
   • 原理: 利用一个二极管对已调信号进行半波整流，再通过一个低通滤波器（RC 电路）滤除高频载波成分，即可得到信号的包络，即恢复出的 $A_0+m(t)$。最后通过隔直电容去除直流分量 $A_0$，得到 $m(t)$
   • 优点: 电路简单、成本极低。

2. 相干解调:

   • 原理: 将接收到的 AM 信号 $s_{AM}(t)$ 乘以一个与发射端载波同频同相的本地载波 $\cos(2\pi f_c t)$，然后通过一个低通滤波器
   • 优点: 性能更好，即使在过调制或 DSB-SC 信号下也能工作
   • 缺点: 系统复杂，需要精确的载波同步电路（如锁相环 PLL），成本高

6. 解题公式和结论#

1. 从时域表达式识读参数:

   • 给定 $s(t) = [A+B\cos(2\pi f_m t)]\cos(2\pi f_c t)$，直接对比标准形式 $A_0[1+a\cos(2\pi f_m t)]\cos(2\pi f_c t)$
   • $A_0 = A$ (直流偏置/载波幅值)，$f_c$ 是载波频率，$f_m$ 是基带频率
   • 调幅系数 $a = B/A$

2. 从频域表达式识读参数:

   • 给定频谱，中心频率 $\pm f_c$ 处的冲激幅度为 $A_0/2$

   • 边带频率 $\pm(f_c \pm f_m)$ 处的冲激幅度为 $A_m/4$（若 $m(t)=A_m\cos(\omega_m t)$）

   • 调幅系数

     $$a = A_m/A_0 = \frac{4 \times (\text{边带冲激幅度})}{2 \times (\text{载波冲激幅度})} = \frac{2 \times (\text{边带冲激幅度})}{(\text{载波冲激幅度})}$$

3. 核心判断条件:

   • 不失真包络检波 $\iff$ 未过调制 $\iff$ $a \le 1 \iff A_0 \ge |m(t)|_{\max} \iff$ 信号包络始终非负。

4. 功率与效率计算:

   • 单音调制时效率公式

     $$\eta = \frac{a^2}{2+a^2}$$

     非常常用

   • 计算功率时，直接对各频率分量的幅度使用 $P = A^2/2$ 求和即可

4-3#

题目 4.3：设有 AM 信号 $s(t) = \text{Re}\{[A+m(t)]e^{j(2\pi f_c t + \pi/2)}\}$，已知基带信号 $m(t)$ 的最大幅度为 $A/2$，功率为 $A^2/8$。求调幅系数、调制效率，并求相干解调器载波为 $2\cos(2\pi f_c t)$ 时的解调输出。

1. 相关知识点介绍#

1. AM 信号的复数表示:

任何带通信号都可以表示为 $s(t) = \text{Re}\{s_L(t)e^{j2\pi f_c t}\}$，其中 $s_L(t)$ 是复包络。本题给出的形式 $s(t) = \text{Re}\{[A+m(t)]e^{j(2\pi f_c t + \pi/2)}\}$ 稍微有些不同，因为它在复指数中包含了相位 $\pi/2$。这提示我们信号的载波可能不是标准的 $\cos$ 函数。

2. 调幅系数与调制效率:

这两个概念与前一题完全相同

• 调幅系数 $\beta$：需要将信号整理成 $A_c[1+\beta m_n(t)] \times (\text{carrier})$ 的形式来求解，其中 $m_n(t)$ 是归一化的基带信号
• 调制效率 $\eta$：依然是边带功率与总功率之比，$\eta = P_{SB}/P_{Total}$；计算效率最直接的方法是分别求出载波功率和边带功率

3. 相干解调:

相干解调是幅度调制（特别是 DSB-SC 和标准 AM）的主要解调方式。其过程分为两步：

• 乘法器： 将接收到的已调信号 $s(t)$ 与一个本地产生的、与发射端载波同频同相的参考载波相乘

• 低通滤波器 (LPF)： 将相乘后的信号通过一个低通滤波器，滤除高频分量，恢复出原始的基带信号

  关键点：

  相干解调对本地载波的相位极为敏感

  如果本地载波与发射端载波存在相位差 $\Delta\phi$，解调出的信号幅度会乘以 $\cos(\Delta\phi)$

  如果相位差为 $90^\circ$（即 $\pi/2$），$\cos(90^\circ)=0$，将无法解调出任何信号

在知识清单中，本题涉及：

• 模拟通信系统 -> 幅度调制 -> 2. 具有离散大载波的双边带调幅 (AM)
  • 包络调制 -> 3. AM 的解调 -> 相干解调
• 确定性信号分析 -> 5. 希尔伯特变换与解析信号 (复数表示法)

2. 使用的公式#

1. 欧拉公式:

   $$e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$$

   特别地, $e^{j\pi/2} = j$

2. 信号功率:

   • 载波功率 $P_c = A_c^2/2$
   • 边带功率 (DSB) $P_{SB} = P_m/2$，其中 $P_m$ 是基带信号 $m(t)$ 的功率

3. 三角恒等式:

   $$2\sin(A)\cos(A) = \sin(2A)$$

3. 解题思路和步骤#

(1) 求调幅系数与调制效率#

1. 推导 $s(t)$ 的时域表达式:

   首先处理复指数项：

   $$e^{j(2\pi f_c t + \pi/2)} = e^{j2\pi f_c t} \cdot e^{j\pi/2} = (\cos(2\pi f_c t) + j\sin(2\pi f_c t)) \cdot j = j\cos(2\pi f_c t) - \sin(2\pi f_c t)$$

   代入原式：

   $$s(t) = \text{Re}\{[A+m(t)](-\sin(2\pi f_c t) + j\cos(2\pi f_c t))\}$$ $$s(t) = \text{Re}\{-(A+m(t))\sin(2\pi f_c t) + j(A+m(t))\cos(2\pi f_c t)\}$$

   取实部得到：

   $$s(t) = -[A+m(t)]\sin(2\pi f_c t)$$

   这是一个以正弦函数为载波的 AM 信号

2. 求调幅系数 $\beta$:

3. 将 $s(t)$ 展开并提出载波幅值 $A$：

   $$s(t) = -A[1 + \frac{m(t)}{A}]\sin(2\pi f_c t)$$

   题目已知 $m(t)$ 的最大幅度为 $A/2$

   代入

   $$\beta = \frac{|m(t)|_{max}}{A}$$

   解得 调幅系数为 0.5

4. 求调制效率 $\eta$:

   通过直接计算功率来求解

   • 载波信号: $-A\sin(2\pi f_c t)$，其幅度为 $A$

   • 载波功率 $P_c$: $P_c = \frac{A^2}{2}$

   • 边带信号: $-m(t)\sin(2\pi f_c t)$。这是一个 DSB-SC 信号

   • 边带功率 $P_{SB}$: $P_{SB} = \frac{1}{2}P_m$

     题目已知基带信号功率 $P_m = A^2/8$：

     $$P_{SB} = \frac{1}{2} \cdot \frac{A^2}{8} = \frac{A^2}{16}$$

   • 总功率$P_{Total}$

     $$P_{Total} = P_c + P_{SB} = \frac{A^2}{2} + \frac{A^2}{16} = \frac{8A^2+A^2}{16} = \frac{9A^2}{16}$$

   • 调制效率 $\eta$:

     $$\eta = \frac{P_{SB}}{P_{Total}} = \frac{A^2/16}{9A^2/16} = \frac{1}{9}$$

(2) 求相干解调输出#

1. 将接收信号与本地载波相乘:

   本地载波为 $c_{local}(t) = 2\cos(2\pi f_c t)$

   令相乘后的信号为 $v(t) = s(t) \cdot c_{local}(t)$

   $$v(t) = \{-[A+m(t)]\sin(2\pi f_c t)\} \cdot \{2\cos(2\pi f_c t)\}$$ $$v(t) = -[A+m(t)] \cdot [2\sin(2\pi f_c t)\cos(2\pi f_c t)]$$

2. 利用三角恒等式化简:

   使用 $2\sin(A)\cos(A) = \sin(2A)$：

   $$v(t) = -[A+m(t)] \sin(4\pi f_c t)$$

3. 通过低通滤波器 (LPF):

   解调输出 $y(t)$ 是 $v(t)$ 经过 LPF 后的结果

   $v(t)$ 是一个中心频率在 $2f_c$ 的高频信号，其包络为 $-[A+m(t)]$。信号的所有频谱分量都集中在 $2f_c$ 附近

   理想的低通滤波器会滤除所有的高频分量，只保留直流和低频分量。由于 $v(t)$ 中不包含任何直流或低频分量，因此：

   $$y(t) = \text{LPF}[v(t)] = 0$$

结论：

• 调幅系数 $\beta = 0.5$
• 调制效率 $\eta = 1/9$
• 解调输出为 0

核心原因： 发送信号的载波是正弦 ($\sin(2\pi f_c t)$)，而本地解调载波是余弦 ($\cos(2\pi f_c t)$)。两者之间存在 $90^\circ$ 的相位差，导致相干解调输出为零，这种现象称为正交零点效应🤤🤤🤤

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4-4#

题目 4.4：设有已调信号 $s(t) = 2\sin(2\pi f_m t)\cos(2\pi f_c t) + 2\cos(2\pi f_m t)\sin(2\pi f_c t)$，其中基带调制信号为 $m(t) = \sin(2\pi f_m t)$，载频 $f_c \gg f_m$。 (1) 求 $s(t)$ 的傅里氏变换； (2) 写出该已调信号的调制方式

1. 相关知识点介绍#

1. 单边带调幅 (Single-Sideband, SSB):

SSB 是一种高效的幅度调制技术。在标准的双边带调幅 (DSB) 中，基带信号的频谱被完整地搬移到载波的两侧，形成了上边带 (USB) 和下边带 (LSB)。由于实信号频谱的共轭对称性，这两个边带承载了完全相同的信息。SSB 的核心思想是只传输其中一个边带（上边带或下边带），并抑制载波和另一个边带。

• 优点: 带宽效率高（带宽仅为基带信号带宽 $W$，是 DSB 的一半），发射功率也得到了有效利用（没有浪费在冗余边带和载波上）

• 实现方法:
  产生 SSB 信号的常用方法是相移法，其数学表达式为：

  $$s_{SSB}(t) = A_c[m(t)\cos(2\pi f_c t) \mp \hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)]$$

  其中 $\hat{m}(t)$ 是基带信号 $m(t)$ 的希尔伯特变换

  减号 $(-)$ 对应上边带 (USB) 信号，加号 $(+)$ 对应下边带 (LSB) 信号

2. 希尔伯特变换 ($\hat{m}(t)$):

希尔伯特变换是一个将信号所有频率分量的相位移动 $-90^\circ$ 的线性系统

对于本题中的单音信号：

• $m(t) = \sin(2\pi f_m t)$ 的希尔伯特变换是 $\hat{m}(t) = \sin(2\pi f_m t - 90^\circ) = -\cos(2\pi f_m t)$
• $\cos(2\pi f_m t)$ 的希尔伯特变换是 $\sin(2\pi f_m t)$

通过希尔伯特变换，我们可以为 $m(t)$ 构造一个正交信号 $\hat{m}(t)$，这是相移法生成 SSB 信号的关键

在知识清单中，本题主要涉及：

• 模拟通信系统 -> 幅度调制 -> 3. 单边带调幅 SSB AM
  • SSB AM 信号的产生
• 确定性信号分析 -> 5. 希尔伯特变换与解析信号

2. 使用的公式#

1. 三角恒等式 (正弦和角公式):

   $$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$

2. 傅里氏变换对:

   $$A\sin(2\pi f_0 t) \quad \Leftrightarrow \quad \frac{A}{2j}[\delta(f-f_0) - \delta(f+f_0)]$$

3. SSB 信号 (USB) 的相移法表达式:

   $$s_{USB}(t) = A_c[m(t)\cos(2\pi f_c t) - \hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)]$$

3. 解题思路和步骤#

(1) 求 $s(t)$ 的傅里氏变换#

1. 简化时域表达式:

   观察给定的信号 $s(t)$：

   $$s(t) = 2\sin(2\pi f_m t)\cos(2\pi f_c t) + 2\cos(2\pi f_m t)\sin(2\pi f_c t)$$

   可以提出公因数 2：

   $$s(t) = 2[\sin(2\pi f_m t)\cos(2\pi f_c t) + \cos(2\pi f_m t)\sin(2\pi f_c t)]$$

   括号内的表达式完全符合正弦和角公式 $\sin(A+B)$，其中 $A=2\pi f_m t$, $B=2\pi f_c t$

   因此，信号可以被简化为：

   $$s(t) = 2\sin(2\pi f_m t + 2\pi f_c t) = 2\sin(2\pi(f_c+f_m)t)$$

2. 进行傅里氏变换:

   这是一个频率为 $f_0 = f_c+f_m$、幅度为 $A=2$ 的单音正弦信号

   利用傅里氏变换公式：

   $$S(f) = \mathcal{F}[2\sin(2\pi(f_c+f_m)t)]$$ $$S(f) = 2 \cdot \frac{1}{2j}[\delta(f-(f_c+f_m)) - \delta(f+(f_c+f_m))]$$ $$S(f) = \frac{1}{j}[\delta(f-(f_c+f_m)) - \delta(f-(f_c+f_m))]$$

   该频谱仅在 $\pm(f_c+f_m)$ 处存在冲激，即只包含上边带频率分量

(2) 写出该已调信号的调制方式#

1. 从频谱判断:

   从第一问的傅里氏变换结果可以看出，信号的频谱只包含位于 $f_c+f_m$ 的频率分量（及其负频率对应）。基带信号的频谱被搬移到了载频 $f_c$ 的上方，而 $f_c$ 处的载波分量和 $f_c-f_m$ 处的下边带分量都被抑制了。这正是上边带单边带抑制载波 (USB-SSB-SC) 调制的典型特征

2. 从时域表达式验证:

   我们用相移法来验证这个结论

   • 基带信号: $m(t) = \sin(2\pi f_m t)$
   • 其希尔伯特变换: $\hat{m}(t) = -\cos(2\pi f_m t)$
   • 根据 USB-SSB 的生成公式，令幅度 $A_c=2$: $$s_{USB}(t) = 2[m(t)\cos(2\pi f_c t) - \hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)]$$ $$s_{USB}(t) = 2[\sin(2\pi f_m t)\cos(2\pi f_c t) - (-\cos(2\pi f_m t))\sin(2\pi f_c t)]$$ $$s_{USB}(t) = 2\sin(2\pi f_m t)\cos(2\pi f_c t) + 2\cos(2\pi f_m t)\sin(2\pi f_c t)$$ 这个结果与题目给出的 $s(t)$ 完全一致

结论： 该已调信号的调制方式是 上边带单边带抑制载波调幅 (USB-SSB-SC)

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单边带调幅 (Single-Sideband Amplitude Modulation, SSB AM)#

1. 为什么要用 SSB#

传统的双边带抑制载波调幅 (DSB-SC) 是将基带信号 $m(t)$ 的频谱完整地搬移到载波频率 $\pm f_c$ 的两侧

这里有两个关键问题：

1. 信息冗余:

   对于实信号 $m(t)$，其频谱 $M(f)$ 是共轭对称的 ($|M(f)| = |M(-f)|$)。当它被搬移到 $\pm f_c$ 后，产生的上边带 (USB) 和下边带 (LSB) 包含了完全相同的信息

   传输两个边带，就好像把同一句话说了两遍，造成了信息冗余

2. 带宽浪费:

   由于传输了两个边带，DSB 信号的带宽是基带信号带宽的两倍 ($BW_{DSB} = 2W$)。在频谱资源日益紧张的今天，这是一种极大的浪费

SSB 的核心思想就是：只传输一个边带（上边带或下边带），并抑制载波和另一个冗余的边带

2.关键参数#

2.1.SSB 时域标准形式

标准的 SSB 信号时域表达式为：

$$s_{SSB}(t) = m(t)\cos(2\pi f_c t) \mp \hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)$$

其中：

• $m(t)$ 是原始的实数基带信号

• $\hat{m}(t)$ 是 $m(t)$ 的希尔伯特变换，即 $m(t)$ 的正交版本

• 符号 "$\mp$" 决定了生成的是哪个边带：

  • 减号 (-) 对应 上边带 (Upper Sideband, USB) 信号:

    $$s_{USB}(t) = m(t)\cos(2\pi f_c t) - \hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)$$

  • 加号 (+) 对应 下边带 (Lower Sideband, LSB) 信号:

    $$s_{LSB}(t) = m(t)\cos(2\pi f_c t) + \hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)$$

2.3.实际调制的 SSB 信号

实际调制/解题时给的也不会是标准形式，即系数为 1 的 SSB 信号，而是带有幅度的信号：

$$s(t) = A[m(t)\cos(2\pi f_c t) \mp \hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)]$$

这是解题时的参考公式，尤其在这些场景下：

1. 从零构建 SSB 信号: 题目给 $m(t)$ 和 $f_c$，要求你写出 SSB 信号的表达式
2. 处理功率问题: 题目给定最终的发射功率，要求你反推信号表达式
3. 处理复杂的基带信号: 当 $m(t)$ 不是单音正弦波时，这个公式的普适性最好

其中 $A$ 为幅度系数，在计算功率时有大用：

四步求功率

1. 写出基础表达式 ($A=1$)
2. 计算基础功率 ($P_{\text{base}} = P_m$)
3. 根据最终功率求 $A$
4. 写出最终答案 $s(t) = A \cdot s_{\text{base}}(t)$

以题 4-5 为例：

1. 写出基础表达式 (A=1)

   先写出不考虑最终功率的 SSB 信号，记为 $s_{\text{base}}(t)$

   $$s_{\text{base}}(t) = m(t)\cos(\omega_c t) + \hat{m}(t)\sin(\omega_c t) \quad (\text{题目要求为 LSB})$$

2. 计算基础功率

计算这个基础信号的功率 $P_{\text{base}}$。

此处有一个关键结论：基础 SSB 信号的功率，等于原始基带信号的功率

$$P_{\text{base}} = P_m$$

计算基带功率: $P_m = P_{\cos(200\pi t)} + P_{2\sin(2000\pi t)} = \frac{1^2}{2} + \frac{2^2}{2} = 2.5$ W

由于基带信号的两个三角函数不同频，而对于一个由多个不同频率（即相互正交）的正弦信号叠加的信号，其总平均功率等于各个分量信号的平均功率之和 三角函数的标准形式为 $Acos(\omega t + \theta)$，其功率为：$A^2/2$，即(幅值除以根号 2) 的平方

所以，基础 SSB 信号的功率 $P_{\text{base}} = 2.5$ W

3. 引入缩放因子 A 求解

   题目要求最终功率是 $P_s = 5$ W

   由 $P_s = A^2 P_{\text{base}}$：

   推导查看

   $$5 = A^2 \cdot (2.5) \implies A^2 = 2 \implies A = \sqrt{2}$$

4. 写出最终表达式

   将求出的 $A$ 乘回基础表达式，得到最终答案：

   $$s(t) = A \cdot s_{\text{base}}(t) = \sqrt{2}[m(t)\cos(\omega_c t) + \hat{m}(t)\sin(\omega_c t)]$$

2.3. 频域表达式

从 USB 信号开始推导其频谱 $S_{USB}(f)$：

$$S_{USB}(f) = \mathcal{F}[m(t)\cos(2\pi f_c t)] - \mathcal{F}[\hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)]$$

由希尔伯特变换频域性质:

• $\mathcal{F}[\hat{m}(t)] = \hat{M}(f) = (-j \cdot \text{sgn}(f)) M(f)$
• 其中 $\text{sgn}(f)$ 是符号函数：$1$ for $f>0$, $-1$ for $f<0$, $0$ for $f=0$

推导过程:

• 第一项: $\mathcal{F}[m(t)\cos(2\pi f_c t)] = \frac{1}{2}[M(f-f_c) + M(f+f_c)]$
• 第二项: $\mathcal{F}[\hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)] = \frac{1}{2j}[\hat{M}(f-f_c) - \hat{M}(f+f_c)]$
  • 代入希尔伯特变换性质:
  $$= \frac{1}{2j}[(-j \cdot \text{sgn}(f-f_c))M(f-f_c) - (-j \cdot \text{sgn}(f+f_c))M(f+f_c)] \\ = \frac{1}{2}[- \text{sgn}(f-f_c)M(f-f_c) + \text{sgn}(f+f_c)M(f+f_c)]$$
• 合并两项: $S_{USB}(f) = \text{第一项} - \text{第二项}$ $$S_{USB}(f) = \frac{1}{2}[M(f-f_c) + M(f+f_c)] - \frac{1}{2}[- \text{sgn}(f-f_c)M(f-f_c) + \text{sgn}(f+f_c)M(f+f_c)] \\ = \frac{1}{2}M(f-f_c)[1 + \text{sgn}(f-f_c)] + \frac{1}{2}M(f+f_c)[1 - \text{sgn}(f+f_c)]$$
• 分析符号函数:
  • 当 $f > f_c$ 时, $f-f_c>0$, $1+\text{sgn}(f-f_c) = 2$
  • 当 $f < f_c$ 时, $f-f_c<0$, $1+\text{sgn}(f-f_c) = 0$
  • 当 $f > -f_c$ 时, $f+f_c>0$, $1-\text{sgn}(f+f_c) = 0$
  • 当 $f < -f_c$ 时, $f+f_c<0$, $1-\text{sgn}(f+f_c) = 2$

最终频谱:

• USB 频谱:

  $$S_{USB}(f) = M(f-f_c) \quad \text{for } f > f_c \quad \text{and} \quad M(f+f_c) \quad \text{for } f < -f_c$$

  表示只保留了基带频谱在 $\pm f_c$ 处向外侧移动的部分

• LSB 频谱 (同理可得):

  $$S_{LSB}(f) = M(f-f_c) \quad \text{for } f < f_c \quad \text{and} \quad M(f+f_c) \quad \text{for } f > -f_c$$

  只保留基带频谱在 $\pm f_c$ 处向内侧移动的部分

3. 关键特性#

• 带宽效率极高:

  SSB 信号的带宽等于基带信号的带宽 ($BW_{SSB} = W$)，是所有模拟幅度调制技术中带宽效率最高的

• 功率效率高:

  与发送强大载波的标准 AM 相比，SSB 将所有功率都用于传输携带信息的单个边带，因此功率利用率很高

4. 产生方法#

如何精确地“切掉”一个边带和载波呢？主要有两种方法

方法一：滤波法

这是最直观的方法

1. 生成 DSB 信号: 首先将基带信号 $m(t)$ 与载波 $\cos(2\pi f_c t)$ 相乘，得到一个标准的 DSB-SC 信号。
2. 带通滤波: 设计一个非常理想的带通滤波器，其通带正好覆盖想要保留的那个边带（USB 或 LSB），然后让 DSB 信号通过这个滤波器。

• 挑战: 这种方法在工程上实现非常困难。因为滤波器需要有极其陡峭的“过渡带”（即从通带到阻带的衰减速度要非常快），尤其当基带信号包含丰富的低频分量时，要保留的边带和要滤除的边带离得非常近，对滤波器的要求极为苛刻。

🤗方法二：相移法

这是更常用、更精确的数学方法，它利用了希尔伯特变换

一个 SSB 信号可以被表示为同相分量和正交分量的组合。其标准数学表达式为：

$$s_{SSB}(t) = m(t)\cos(2\pi f_c t) \mp \hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)$$

其中：

• $m(t)$ 是原始的实数基带信号

• $\hat{m}(t)$ 是 $m(t)$ 的希尔伯特变换，即 $m(t)$ 的正交版本

• 符号 "$\mp$" 决定了生成的是哪个边带：

  • 减号 (-) 对应 上边带 (Upper Sideband, USB) 信号:

    $$s_{USB}(t) = m(t)\cos(2\pi f_c t) - \hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)$$

  • 加号 (+) 对应 下边带 (Lower Sideband, LSB) 信号:

    $$s_{LSB}(t) = m(t)\cos(2\pi f_c t) + \hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)$$

这个公式的巧妙之处在于，$\hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)$ 这一项在频域上正好可以抵消掉 $m(t)\cos(2\pi f_c t)$ 产生的一个边带

5. SSB 信号的解调#

SSB 信号的解调使用相干解调，也称为同步检波

1. 乘法: 在接收端，将接收到的 SSB 信号 $s_{SSB}(t)$ 乘以一个与发射端载波完全同步（同频同相）的本地载波 $\cos(2\pi f_c t)$
2. 低通滤波: 将相乘后的信号通过一个低通滤波器 (LPF)，即可恢复出原始的基带信号 $m(t)$

• 挑战: 相干解调对本地载波的同步要求极高。如果频率或相位有微小的偏差，都会导致恢复出的信号产生严重的失真。这也是 SSB 系统比标准 AM 系统复杂和昂贵的主要原因

4-5#

题目 4.5：已知某下单边带 SSB 信号 $s(t)$ 的功率为 5 W，载波频率为 800 kHz，基带调制信号为 $m(t) = \cos(200\pi t) + 2\sin(2000\pi t)$ (1) 写出 $m(t)$ 的希尔伯特变换 $\hat{m}(t)$ 的表达式； (2) 写出已调信号的时域表达式； (3) 画出已调信号的单边功率谱密度图。

1. 相关知识点介绍#

1. LSB-SSB 信号的时域表达式:

下边带 (LSB) 信号是通过相移法构建的，其标准形式为：

$$s_{LSB}(t) = A [m(t)\cos(2\pi f_c t) + \hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)]$$

其中 $\hat{m}(t)$ 是 $m(t)$ 的希尔伯特变换。这里的系数 $A$ 是一个幅度缩放因子，它的值取决于信号的功率要求

2. 希尔伯特变换的线性性质:

希尔伯特变换是一个线性算子，这意味着对于一个由多项组成的信号，其变换等于每一项变换的总和。

$$\mathcal{H}[a \cdot g(t) + b \cdot h(t)] = a \cdot \hat{g}(t) + b \cdot \hat{h}(t)$$

本题中的基带信号 $m(t)$ 是两个正弦信号的和，我们可以对每一项单独进行变换

3. 功率关系:

• 基带信号功率 $P_m$: 对于由多个正交（不同频率）的正弦信号组成的基带信号，其总功率是各个分量功率的和
• SSB 信号功率 $P_s$: SSB 调制是一种线性操作。如果 $s(t) = A \cdot s_{base}(t)$，那么 $P_s = A^2 \cdot P_{base}$
• 一个重要的性质是，由标准公式（即 $A=1$）生成的 SSB 信号，其功率等于原始基带信号的功率，即 $P_{SSB, A=1} = P_m$。本题中给出的最终功率与基带功率不同，这暗示我们必须求解幅度缩放因子 $A$。

4. 单边功率谱密度:

对于一个由多个离散正弦波组成的信号，其功率谱密度是由在各个频率点上的冲激函数 (δ函数) 组成的

• 双边谱将功率平分到正负频率上。 例如，一个功率为 $P$ 的余弦波，在双边谱中是位于 $\pm f_0$ 的两个冲激，每个的“面积”是 $P/2$
• 单边谱只考虑正频率，并将负频率的功率也归到相应的正频率上。因此，在单边谱中，位于 $f_0$ 的冲激，其“面积”就是该分量的全部功率 $P$

在知识清单中，本题涉及：

• 模拟通信系统 -> 幅度调制 -> 3. 单边带调幅 SSB AM
• 确定性信号分析 -> 5. 希尔伯特变换与解析信号
• 随机信号分析 -> 3.7. 功率谱密度的性质 (虽然这里是确定性信号，但功率谱的概念是相通的)

2. 使用的公式#

1. 希尔伯特变换对:

   • $\mathcal{H}[\cos(2\pi f_0 t)] = \sin(2\pi f_0 t)$
   • $\mathcal{H}[\sin(2\pi f_0 t)] = -\cos(2\pi f_0 t)$

2. LSB-SSB 表达式:

   $$s(t) = A[m(t)\cos(2\pi f_c t) + \hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)]$$

3. 正弦信号功率:

   $A_0\cos(2\pi f_0 t + \phi)$ 或 $A_0\sin(2\pi f_0 t + \phi)$ 的平均功率为 $P = \frac{A_0^2}{2}$。

3. 解题思路和步骤#

(1) $m(t)$ 的希尔伯特变换 $\hat{m}(t)$#

基带信号 $m(t)$ 由两部分组成：$m_1(t) = \cos(200\pi t)$ 和 $m_2(t) = 2\sin(2000\pi t)$

对它们分别进行希尔伯特变换：

• $\hat{m}_1(t) = \mathcal{H}[\cos(200\pi t)] = \sin(200\pi t)$
• $\hat{m}_2(t) = \mathcal{H}[2\sin(2000\pi t)] = 2 \cdot \mathcal{H}[\sin(2000\pi t)] = 2[-\cos(2000\pi t)] = -2\cos(2000\pi t)$

根据线性性质，将两者相加：

$$\hat{m}(t) = \sin(200\pi t) - 2\cos(2000\pi t)$$

(2) 已调信号的时域表达式#

1. 计算基带信号功率 $P_m$:

   $m(t)$ 的两个频率分量（100 Hz 和 1000 Hz）是正交的，总功率是两者功率之和:

   • $P_1 = P_{\cos(200\pi t)} = \frac{1^2}{2} = 0.5$ W
   • $P_2 = P_{2\sin(2000\pi t)} = \frac{2^2}{2} = 2$ W
   • 总基带功率: $P_m = P_1 + P_2 = 0.5 + 2 = 2.5$ W

2. 求解幅度缩放因子 $A$:

   无缩放的 SSB 信号功率等于基带功率。实际信号 $s(t)$ 的功率是 $P_s = 5$ W

   它们的关系是 $P_s = A^2 P_m$。

   $$5 = A^2 \cdot (2.5) \implies A^2 = 2 \implies A = \sqrt{2}$$

3. 构建时域表达式:

   将 $A=\sqrt{2}$, $m(t)$, $\hat{m}(t)$ 和 $f_c = 800 \times 10^3$ Hz ($\omega_c = 1.6\pi \times 10^6$ rad/s) 代入 LSB 公式：

   $$s(t) = \sqrt{2}[m(t)\cos(1.6\pi \times 10^6 t) + \hat{m}(t)\sin(1.6\pi \times 10^6 t)]\\ s(t) = \sqrt{2}[(\cos(200\pi t) + 2\sin(2000\pi t))\cos(1.6\pi \times 10^6 t) + (\sin(200\pi t) - 2\cos(2000\pi t))\sin(1.6\pi \times 10^6 t)]$$

   这就是最终的时域表达式

(3) 已调信号的单边功率谱密度图#

1. 确定输出频率:

   • 基带频率: $f_1 = 100$ Hz, $f_2 = 1000$ Hz = 1 kHz
   • 载波频率: $f_c = 800$ kHz
   • 因为是下边带 (LSB), 输出频率为 $f_c - f_m$：
     • $f_{out,1} = f_c - f_1 = 800 \text{ kHz} - 0.1 \text{ kHz} = 799.9 \text{ kHz}$
     • $f_{out,2} = f_c - f_2 = 800 \text{ kHz} - 1 \text{ kHz} = 799 \text{ kHz}$

2. 确定各频率分量的功率:

   每个频率分量的功率等于其基带分量的功率乘以 $A^2=2$

   • $P_{out,1} = A^2 \cdot P_1 = 2 \cdot 0.5 = 1$ W
   • $P_{out,2} = A^2 \cdot P_2 = 2 \cdot 2 = 4$ W
   • 验证: 总功率 $P_s = P_{out,1} + P_{out,2} = 1 + 4 = 5$ W，与题目已知相符。

3. 绘制单边功率谱密度图:

   该图只在正频率轴绘制。它由两个冲激组成，每个冲激的“面积”或“权重”等于其对应的功率。

   • 在 $f = 799$ kHz 处，有一个代表 4 W 功率的冲激。
   • 在 $f = 799.9$ kHz 处，有一个代表 1 W 功率的冲激。

   图例如下：

   • X 轴: 频率 $f$ (单位: kHz)
   • Y 轴: 单边功率谱密度 $G(f)$ (单位: W/Hz)
   • 在 $f=799$ 处画一个向上的箭头，标记其面积为 4 W。
   • 在 $f=799.9$ 处画一个向上的箭头，标记其面积为 1 W。（这个箭头的高度应为前一个的 1/4）。

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SSB 功率的计算#

幅度缩放因子的定义#

我们有一个基础的、数学上纯粹的 SSB 信号生成公式：

$$s_{\text{base}}(t) = m(t)\cos(2\pi f_c t) \mp \hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)$$

这个 $s_{\text{base}}(t)$ 称为归一化或基础 SSB 信号，它的功率完全由基带信号 $m(t)$ 的功率决定（将在第二点证明 $P_{\text{base}} = P_m$）

但在实际的通信系统中，发射信号的功率必须是可控的

例如，一个发射机可能被要求输出 5W 的功率，或者 50W 的功率。我们不能仅仅满足于 $s_{\text{base}}(t)$ 所带来的固定功率

因此，幅度缩放因子 $A$ 就被引入了。它是一个简单的常数增益，用于将基础 SSB 信号的幅度进行整体放大或缩小，以满足特定的功率要求。

最终实际发射的 SSB 信号 $s(t)$ 的表达式是：

$$s(t) = A \cdot s_{\text{base}}(t) = A[m(t)\cos(2\pi f_c t) \mp \hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)]$$

简单来说，幅度缩放因子 $A$ 就是一个电压增益，调节最终输出信号的强度和功率。

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SSB 功率的求解#

求解 SSB 功率的关键，是先求解基础 SSB 信号 $s_{\text{base}}(t)$ 的功率 $P_{\text{base}}$

信号的平均功率是其时域表达式的均方值，即 $P = E[s^2(t)]$

$$P_{\text{base}} = E[s_{\text{base}}^2(t)] = E\left[ (m(t)\cos(\omega_c t) - \hat{m}(t)\sin(\omega_c t))^2 \right]$$

（以 USB 为例，LSB 结果完全相同）

展开平方项：

$$s_{\text{base}}^2(t) = m^2(t)\cos^2(\omega_c t) + \hat{m}^2(t)\sin^2(\omega_c t) - 2m(t)\hat{m}(t)\cos(\omega_c t)\sin(\omega_c t)$$

利用三角恒等式：

• $\cos^2(\theta) = \frac{1}{2}(1+\cos(2\theta))$
• $\sin^2(\theta) = \frac{1}{2}(1-\cos(2\theta))$
• $2\cos(\theta)\sin(\theta) = \sin(2\theta)$

代入上式：

$$s_{\text{base}}^2(t) = \frac{1}{2}m^2(t)(1+\cos(2\omega_c t)) + \frac{1}{2}\hat{m}^2(t)(1-\cos(2\omega_c t)) - m(t)\hat{m}(t)\sin(2\omega_c t)$$

对上式求期望（时间平均）：

由于 $m(t)$ 和 $\hat{m}(t)$ 是低频基带信号，而 $\cos(2\omega_c t)$ 和 $\sin(2\omega_c t)$ 是高频信号，在求长期平均时，包含高频振荡项的期望为零。 因此：

$$P_{\text{base}} = E[\frac{1}{2}m^2(t) + \frac{1}{2}\hat{m}^2(t)] = \frac{1}{2}E[m^2(t)] + \frac{1}{2}E[\hat{m}^2(t)]$$

而 $E[m^2(t)] = P_m$ (基带信号功率)

一个至关重要的性质是： 希尔伯特变换不改变信号的功率，因为它只改变相位，不改变幅度。所以，$E[\hat{m}^2(t)] = P_m$

因此：

$$P_{\text{base}} = \frac{1}{2}P_m + \frac{1}{2}P_m = P_m$$

这是一个极其重要的结论：基础 SSB 信号的功率，等于原始基带信号的功率。

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幅度缩放因子和 SSB 功率的关系#

这个关系现在变得非常简单了：

已知：

1. 实际发射的信号 $s(t) = A \cdot s_{\text{base}}(t)$
2. 基础 SSB 信号的功率 $P_{\text{base}} = P_m$

根据功率的定义，当一个信号的幅度被乘以一个常数 $A$ 时，它的功率会被乘以 $A^2$

$$P_s = E[s^2(t)] = E[(A \cdot s_{\text{base}}(t))^2] = A^2 E[s_{\text{base}}^2(t)] = A^2 P_{\text{base}}$$

将 $P_{\text{base}} = P_m$ 代入，进而得到了最终的关系式：

$$P_s = A^2 P_m$$

这个公式完美地描述了三者之间的关系：

最终 SSB 信号的功率 ($P_s$)，等于基带信号的功率 ($P_m$) 乘以幅度缩放因子 ($A$) 的平方

回到题 4-5 的应用：

1. 计算出基带功率 $P_m = 2.5$ W
2. 题目给出最终 SSB 功率 $P_s = 5$ W
3. 利用关系式 $P_s = A^2 P_m$，反解出所需的增益 $A$： $$5 = A^2 \cdot 2.5 \implies A^2 = 2 \implies A = \sqrt{2}$$

4-6#

好的，这道题是一道非常深刻的概念辨析题，它考察了复包络的相对性以及单边带信号的本质。题目中的相位 $\varphi$ 是一个关键的“陷阱”，需要我们仔细处理。

题目 4.6：某调制器的输出信号为 $s(t) = m_1(t)\cos(2\pi f_c t - \varphi) - m_2(t)\sin(2\pi f_c t - \varphi)$。其中基带信号 $m_1(t)$ 和 $m_2(t)$ 的带宽均为 $W$ 且 $W \ll f_c$。$s_L(t)$ 是 $s(t)$ 以 $\cos(2\pi f_c t)$ 为参考载波的复包络，即 $s(t) = \text{Re}\{s_L(t)e^{j2\pi f_c t}\}$。 (1) 求 $s_L(t)$ 的实部 $\text{Re}\{s_L(t)\}$； (2) 当 $m_1(t)$ 和 $m_2(t)$ 满足何种关系时，$s(t)$ 的频谱在 $|f| < f_c$ 范围内是 0？

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1. 相关知识点介绍#

1. 复包络的相对性: 这是本题的核心。一个带通信号的复包络不是绝对的，它的具体形式取决于所选择的参考载波。

• 信号 $s(t)$ 的“自然”载波是 $\cos(2\pi f_c t - \varphi)$。如果以此为参考，它的复包络将是简单的 $m_1(t) + jm_2(t)$。
• 然而，题目指定了参考载波是 $\cos(2\pi f_c t)$。这意味着我们需要将 $s(t)$ 的表达式通过数学变换，强制整理成 $s_c(t)\cos(2\pi f_c t) - s_s(t)\sin(2\pi f_c t)$ 的形式，然后才能得到 $s_L(t) = s_c(t) + js_s(t)$。这个过程会把原始载波中的相位 $\varphi$ “吸收”到复包络中。

2. 单边带特性

对于一个中心频率为 $f_c$、基带带宽为 $W$ 的已调信号（只考虑正频率轴）：

1. 下边带 (LSB):

   频谱占据的频率范围是 $[f_c - W, f_c]$。 正如您所指出的，这个频带位于载频 $f_c$ 的左侧，即频率小于 $f_c$ 的一侧

2. 上边带 (USB):

   频谱占据的频率范围是 $[f_c, f_c + W]$。 这个频带位于载频 $f_c$ 的右侧，即频率大于 $f_c$ 的一侧

3. 解析信号与复包络的关系:

一个实信号 $s(t)$ 的频谱在 $f<0$ 时为零的充要条件是，它的复包络 $s_L(t)$ 本身是一个解析信号。一个复信号 $z(t) = x(t) + jy(t)$ 是解析信号的条件是，它的虚部是实部的希尔伯特变换，即 $y(t) = \hat{x}(t)$。 因此，解第二问的关键就是：

1. 求出完整的复包络 $s_L(t) = s_c(t) + js_s(t)$。
2. 令其满足解析信号的条件，即 $s_s(t) = \hat{s}_c(t)$。
3. 从这个关系中反解出 $m_1(t)$ 和 $m_2(t)$ 之间的关系。

在您的知识清单中，本题涉及：

• 确定性信号分析 -> 5. 希尔伯特变换与解析信号
• 确定性信号分析 -> 6. 带通信号、带通滤波器的等效基带表示
• 模拟通信系统 -> 幅度调制 -> 3. 单边带调幅 SSB AM

2. 使用的公式#

1. 三角恒等式:
   • $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$
   • $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$
2. 复包络定义: 若 $s(t) = s_c(t)\cos(2\pi f_c t) - s_s(t)\sin(2\pi f_c t)$，则 $s_L(t) = s_c(t) + js_s(t)$。
3. 解析信号条件: 复信号 $z(t) = x(t) + jy(t)$ 是解析信号 $\iff y(t) = \hat{x}(t)$。

3. 解题思路和步骤#

(1) 求 $s_L(t)$ 的实部 $\text{Re}\{s_L(t)\}$#

1. 展开 $s(t)$: 我们必须把 $s(t)$ 整理成以 $\cos(2\pi f_c t)$ 和 $\sin(2\pi f_c t)$ 为基准的形式。 令 $A = 2\pi f_c t$, $B = \varphi$。 $s(t) = m_1(t)[\cos A \cos B + \sin A \sin B] - m_2(t)[\sin A \cos B - \cos A \sin B]$

2. 重新组合项: 将所有含 $\cos A$ 的项和含 $\sin A$ 的项分别合并。 $s(t) = [m_1(t)\cos\varphi + m_2(t)\sin\varphi]\cos(2\pi f_c t) + [m_1(t)\sin\varphi - m_2(t)\cos\varphi]\sin(2\pi f_c t)$

3. 匹配标准 I/Q 形式: 为了匹配 $s_c(t)\cos(\cdot) - s_s(t)\sin(\cdot)$ 的形式，我们将第二项的 + 号改为 - 号： $s(t) = [m_1(t)\cos\varphi + m_2(t)\sin\varphi]\cos(2\pi f_c t) - [-(m_1(t)\sin\varphi - m_2(t)\cos\varphi)]\sin(2\pi f_c t)$ $s(t) = [m_1(t)\cos\varphi + m_2(t)\sin\varphi]\cos(2\pi f_c t) - [m_2(t)\cos\varphi - m_1(t)\sin\varphi]\sin(2\pi f_c t)$

4. 识别同相分量 $s_c(t)$: 对比标准形式，同相分量 $s_c(t)$ 是 $\cos(2\pi f_c t)$ 的系数。 $s_c(t) = m_1(t)\cos\varphi + m_2(t)\sin\varphi$ 根据定义，$s_L(t)$ 的实部就是 $s_c(t)$。

结论 (1): $\text{Re}\{s_L(t)\} = m_1(t)\cos\varphi + m_2(t)\sin\varphi$

(2) 频谱在 $|f|<f_c$ 范围内为 0 的条件#

1. 建立条件: 如知识点介绍中所述，该条件等价于复包络 $s_L(t)$ 是一个解析信号，即 $s_s(t) = \hat{s}_c(t)$。

2. 识别正交分量 $s_s(t)$: 从第一问的推导中，我们已经得到了正交分量 $s_s(t)$ 是 $\sin(2\pi f_c t)$ 前的系数（带负号之后的部分）： $s_s(t) = m_2(t)\cos\varphi - m_1(t)\sin\varphi$

3. 应用解析信号条件: $s_s(t) = \hat{s}_c(t)$ $m_2(t)\cos\varphi - m_1(t)\sin\varphi = \mathcal{H}[m_1(t)\cos\varphi + m_2(t)\sin\varphi]$ 由于希尔伯特变换是线性的，且 $\cos\varphi, \sin\varphi$ 是常数： $m_2(t)\cos\varphi - m_1(t)\sin\varphi = \hat{m}_1(t)\cos\varphi + \hat{m}_2(t)\sin\varphi$

4. 求解关系: 这个等式必须对所有时刻 $t$ 都成立。要做到这一点，等式两边 $\cos\varphi$ 的系数和 $\sin\varphi$ 的系数必须分别相等。

   • 匹配 $\cos\varphi$ 的系数: $m_2(t) = \hat{m}_1(t)$
   • 匹配 $\sin\varphi$ 的系数: $-m_1(t) = \hat{m}_2(t)$

   这两个条件是等价的。如果我们取第一个条件 $m_2(t) = \hat{m}_1(t)$，对其两边再做一次希尔伯特变换，可得 $\hat{m}_2(t) = \hat{\hat{m}}_1(t)$。因为对一个信号连续进行两次希尔伯特变换等于将信号反号，即 $\hat{\hat{m}}_1(t) = -m_1(t)$，所以我们得到 $\hat{m}_2(t) = -m_1(t)$，这与第二个条件完全一致。

结论 (2): 当 $m_1(t)$ 和 $m_2(t)$ 满足 $m_2(t) = \hat{m}_1(t)$ (即 $m_2(t)$ 是 $m_1(t)$ 的希尔伯特变换) 时，$s(t)$ 的频谱在 $|f| < f_c$ 范围内为 0。

补充说明: 如果满足 $m_2(t) = \hat{m}_1(t)$，原信号就变成了： $s(t) = m_1(t)\cos(2\pi f_c t - \varphi) - \hat{m}_1(t)\sin(2\pi f_c t - \varphi)$ 这是一个载波相位为 $-\varphi$ 的上边带 (USB-SSB) 信号

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4-9#

题目 4.9：通过 AWGN 信道发送 $s(t) = m_1(t)\cos(2\pi f_c t) - m_2(t)\sin(2\pi f_c t)$，其中 $m_1(t)$、$m_2(t)$ 是频谱分布在 0~3400 Hz 内的两个话音信号，功率都是 1 W。 (1) 接收端如何解调出 $m_1(t)$、$m_2(t)$？ (2) 若信道噪声的功率谱密度为 $N_0/2$，求空调输出信噪比。

它考察了正交幅度调制 (QAM) 的解调原理以及其在加性高斯白噪声 (AWGN) 信道下的抗噪声性能分析

1. 相关知识点介绍#

1. 正交幅度调制 (QAM):

题目给出的信号形式是一种将两个独立的基带信号 $m_1(t)$ 和 $m_2(t)$ 同时在同一个载波频率上传输的调制技术。它利用了 $\cos(2\pi f_c t)$ 和 $\sin(2\pi f_c t)$ 这两个载波的正交性来实现这一点

• $m_1(t)$ 调制在同相 (In-phase) 载波 $\cos(2\pi f_c t)$ 上。
• $m_2(t)$ 调制在正交 (Quadrature) 载波 $\sin(2\pi f_c t)$ 上。

这相当于在相同的频谱资源上并行传输两个 DSB-SC 信号，使得频谱利用率加倍；因此带宽为 2*B = 6800Hz

QAM 系统的一个本质特性：I 支路和 Q 支路是两个相互正交、互不干扰的独立信道

• 你可以把 QAM 系统看作是在同一个频率上捆绑了两个并行的 DSB-SC 信道
• 你在 I 支路上投入多少信号功率，就会得到与之成正比的输出信噪比
• 你在 Q 支路上投入多少信号功率，也会得到与之成正比的输出信噪比
• 两个支路的噪声环境是相同的，因为它们面对的是同一个信道噪声

2. 相干解调

由于两个信号在频域上是重叠的，必须使用相干解调来分离它们。

相干解调的核心是：在接收端产生一个与发射端频率和相位都严格同步的本地载波

• 利用正交性: $\cos(\cdot)$ 和 $\sin(\cdot)$ 在一个周期内积分为零。通过将接收信号分别乘以本地的 $\cos(\cdot)$ 和 $\sin(\cdot)$ 载波，可以分离出同相和正交路上的信号，而另一路信号则会被调制到两倍载频处。
• 低通滤波: 乘以本地载波后，会产生基带信号分量和二倍频分量。使用一个截止频率等于基带信号带宽 $W$ 的低通滤波器 (LPF)，即可滤除二倍频分量，恢复出原始的基带信号

3. 输出信噪比

这是衡量解调器性能的关键指标，定义为解调器输出端信号的平均功率与噪声的平均功率之比：

$$\text{SNR}_o = \frac{P_{So}}{P_{No}}$$

其中 $P_{So}$ 为信号的平均功率；${P_{No}}$ 为噪声的平均功率

为了计算它，需要分别分析信号和噪声通过解调器（乘法器 + LPF）后的输出功率

在知识清单中，本题涉及：

• 模拟通信系统 -> 幅度调制 -> DSB-SC AM -> 3. 相干解调 (QAM 的解调是两个并行的 DSB-SC 相干解调)
• 模拟通信系统 -> 线性调制的抗噪声性能 -> DSB-SC 系统的抗噪声性能
• 随机信号分析 -> 6. 平稳随机过程过线性系统 (计算噪声通过解调器的功率)

2. 使用的公式#

1. 三角恒等式:

   • $\cos^2(A) = \frac{1}{2}(1 + \cos(2A))$
   • $\sin^2(A) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2A))$
   • $\sin(A)\cos(A) = \frac{1}{2}\sin(2A)$

2. 噪声通过 LTI 系统的输出功率:

   $$P_{No} = \int_{-\infty}^{\infty} P_{ni}(f) |H(f)|^2 df$$

   其中 $P_{ni}(f)$ 是系统输入的噪声功率谱密度，$H(f)$ 是系统传递函数

3. 窄带噪声的等效基带表示:

   信道噪声 $n(t)$ 可以表示为 $n(t) = n_c(t)\cos(2\pi f_c t) - n_s(t)\sin(2\pi f_c t)$，其中同相和正交噪声分量 $n_c(t)$ 和 $n_s(t)$ 的功率谱密度在 $|f| \le W$ 内均为 $N_0$

3. 解题思路和步骤#

(1) 接收端解调方法#

接收端采用相干解调，其结构如下图所示，分为上下两个支路：

• 上支路 (解调 $m_1(t)$):

  1. 将接收信号 $r(t) = s(t) + n(t)$ 与本地载波 $2\cos(2\pi f_c t)$ 相乘
  2. 将乘积信号通过一个理想低通滤波器 (LPF)，其截止频率为 $W=3400$ Hz

• 下支路 (解调 $m_2(t)$):

  1. 将接收信号 $r(t)$ 与本地载波 $-2\sin(2\pi f_c t)$ 相乘
  2. 将乘积信号通过一个同样的理想低通滤波器

数学推导 (仅考虑信号部分):

• 上支路乘法器输出:

  $$v_1(t) = s(t) \cdot 2\cos(2\pi f_c t) \\ = [m_1(t)\cos(2\pi f_c t) - m_2(t)\sin(2\pi f_c t)] \cdot 2\cos(2\pi f_c t) \\ = 2m_1(t)\cos^2(2\pi f_c t) - 2m_2(t)\sin(2\pi f_c t)\cos(2\pi f_c t)$$

  利用三角恒等式展开：

  $$= m_1(t)[1+\cos(4\pi f_c t)] - m_2(t)\sin(4\pi f_c t) \\ = \underbrace{m_1(t)}_{\text{基带}} + \underbrace{m_1(t)\cos(4\pi f_c t) - m_2(t)\sin(4\pi f_c t)}_{\text{二倍频}}$$

  经过 LPF 后，二倍频分量被滤除，输出即为 $m_1(t)$

• 下支路乘法器输出:

  $$v_2(t) = s(t) \cdot (-2\sin(2\pi f_c t)) \\ = [m_1(t)\cos(2\pi f_c t) - m_2(t)\sin(2\pi f_c t)] \cdot (-2\sin(2\pi f_c t)) \\ = -2m_1(t)\cos(2\pi f_c t)\sin(2\pi f_c t) + 2m_2(t)\sin^2(2\pi f_c t) \\ = -m_1(t)\sin(4\pi f_c t) + m_2(t)[1-\cos(4\pi f_c t)] \\ = \underbrace{m_2(t)}_{\text{基带}} - \underbrace{[m_1(t)\sin(4\pi f_c t) + m_2(t)\cos(4\pi f_c t)]}_{\text{二倍频}}$$

  经过 LPF 后，输出即为 $m_2(t)$

(2) 求解调输出信噪比#

由公式：

$$SNR = \frac{P_{有}}{P_n}$$

由于两信号的功率$P_{m1}$、$P_{m2}$都是 1W，而 AWGN 信道的噪声可由窄带随机信号表示为：

$$n_w(t) = n_c(t)\text{cos}(2\pi f_c t ) + n_s(t)\text{sin}(2\pi f_c t )$$

其分别经过两路解调支路时的 LPF 输出为：

• $n_c(t)$：$m_1(t)$的 cos 分路；
• $n_s(t)$：$m_2(t)$的 sin 分路 因此

$$SNR_{m1} = \frac{P_{m1}}{P_c} \\ SNR_{m2} = \frac{P_{m2}}{P_s}$$

而窄带高斯噪声的性质中，正交分量的功率 = 同相分量的功率 = 原始信号的总功率

接下来求解 $n_w(t)$经过解调器解调后的功率谱密度 $P(f)$：

时域相乘等价于频域卷积：

$$P(f) = P_n(f)*[\Delta(f+f_c)+\Delta(f-f_c)] = P_n(f+f_c) + P_n(f-f_c)\\ = N_0$$

其中 $P_n(f) = N_0 / 2$

进而得到经过解调后的噪声的功率谱为 $N_0$。

接下来求解噪声的功率：

$$P_n = \int_{-B}^{B}P(f)df = 2N_0B$$

最终得到信噪比：

$$SNR = \frac{P_{m1}}{P_n} = \frac{1}{2\text{ x }3400N_0}$$

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抗噪声性能：信噪比#

一、 什么是抗噪声性能？#

在实际的通信系统中，信号在信道中传输时，不可避免地会与噪声（最典型的就是加性高斯白噪声 AWGN）相叠加。接收机收到的信号是 $r(t) = s(t) + n(t)$

解调器的任务，就是从这个被污染的信号 $r(t)$ 中，尽可能准确地恢复出原始的基带信号 $m(t)$

抗噪声性能，就是衡量一个调制-解调系统抵抗噪声干扰、保持输出信号质量的能力。如果一个系统抗噪声性能好，那么即使在信道噪声很大的情况下，它解调出的信号依然比较清晰

二、 核心衡量指标：信噪比 (SNR) 与调制增益 ($G$)#

用信噪比 (SNR) 来量化性能

1. 输入信噪比 ($SNR_i$):

   解调器输入端（通常是接收机中频滤波后）的信号与噪声功率之比

   它反映了信道质量的好坏：

   $$SNR_i = \frac{S_i}{N_i} = \frac{\text{已调信号的平均功率}}{\text{信道噪声在信号带宽内的功率}}$$

2. 输出信噪比 ($SNR_o$):

   解调器输出端的信号与噪声功率之比；它反映了最终得到的基带信号的质量。

   $$SNR_o = \frac{S_o}{N_o} = \frac{\text{解调输出有用信号的功率}}{\text{解调输出噪声的功率}}$$

3. 调制增益 (Modulation Gain, $G$):

   这是最重要的性能比较指标；它定义为输出信噪比与输入信噪比的比值：

   $$G = \frac{SNR_o}{SNR_i}$$
   • $G > 1$: 说明该调制方式有放大信噪比的能力，性能较好
   • $G = 1$: 说明性能与简单的基带传输相当
   • $G < 1$: 说明该调制方式恶化了信噪比，性能较差

目标就是分析不同调制方式的 $G$ 值

三、 线性调制 (幅度调制) 的抗噪声性能#

在线性调制中，我们主要分析 DSB-SC、SSB 和标准 AM

1. DSB-SC 系统的抗噪声性能

• 系统特点: 采用相干解调，需要同步的本地载波

• 性能分析:

  • 解调输出的信号功率 $S_o$ 与原始基带信号功率 $P_m$ 成正比
  • 解调输出的噪声功率 $N_o$ 是带宽为 $W$ 的基带噪声功率，可以算得 $N_o = 2N_0W$。（如 4.9 题所证）

• 调制增益:

  $$G_{DSB} = 1$$

  结论:

  DSB-SC 系统的抗噪声性能与基带传输完全相同。它没有改善也没有恶化信噪比。它的作用仅仅是把信号频谱搬移到高频，而没有性能上的增益

2. SSB 系统的抗噪声性能

• 系统特点: 也采用相干解调

• 性能分析:

  • SSB 信号的带宽只有 DSB 的一半 ($W$)。这意味着在接收机输入端，带通滤波器只需要 $W$ 的带宽，因此进入解调器的输入噪声功率 $N_i$ 只有 DSB 的一半。
  • 解调输出的信号功率 $S_o$ 仍然与基带功率 $P_m$ 成正比。
  • 解调输出的噪声功率 $N_o = N_0W$。

• 调制增益:

  $$G_{SSB} = 1$$

  结论:

  SSB 系统的抗噪声性能也与基带传输相同。但是，它是在节省了一半带宽的前提下达到这个性能的。因此，SSB 的频谱利用率远高于 DSB

3. 标准 AM (大载波) 系统的抗噪声性能

• 系统特点: 优点是可以使用简单的包络检波，但这是以牺牲性能为代价的。

• 性能分析:

  • 发射的总功率 $P_{Total}$ 中，有很大一部分是载波功率 $P_c$，这部分功率不携带信息，但在计算输入信噪比 $SNR_i$ 时却被计入噪声分母，导致 $SNR_i$ 偏低。
  • 解调输出的信号功率只与边带功率 $P_{SB}$ 有关。

• 调制增益:

  $$G_{AM} = \frac{\beta^2 \overline{m_n^2(t)}}{1+\beta^2 \overline{m_n^2(t)}}$$

  其中 $\beta$ 是调幅系数，$\overline{m_n^2(t)}$ 是归一化基带信号的功率

  当 $\beta \le 1$ 时，这个增益恒小于 1。在单音 100% 调制 ($\beta=1$) 的理想情况下，最大增益也只有 $1/3$。

  结论:

  标准 AM 的抗噪声性能差于基带传输、DSB 和 SSB。这是为了换取解调简单性而付出的代价

四、 角度调制 (FM) 的抗噪声性能#

角度调制（特别是 FM）与线性调制完全不同，它通过牺牲带宽来换取优异的抗噪声性能

1. FM 系统的抗噪声性能

• 系统特点: 带宽远大于基带带宽（由卡松公式确定），解调器（鉴频器）对相位/频率的变化敏感。

• 性能分析:

  • 鉴频器输出的噪声功率谱密度是抛物线形的，即噪声功率随着频率的平方而增加（高频噪声更大）。
  • 输出信号功率与频偏的平方成正比。越大的频偏（对应越宽的带宽），输出信号功率就越强。

• 调制增益:

  对于单音调制：

  $$G_{FM} \approx \frac{3}{2}\beta_f^2$$

  其中 $\beta_f$ 是调频指数。对于宽带 FM，$\beta_f \gg 1$，所以 $G_{FM}$ 可以远大于 1。

  结论:

  宽带 FM 系统具有远超所有线性调制方式的抗噪声性能。我们可以通过增加 FM 的带宽（增大频偏）来获得信噪比的显著提升。这就是所谓的**“带宽-信噪比互换”**

2. 门限效应

这是 FM 系统的一个独有且重要的问题

• 现象: 上述的 FM 增益公式只在输入信噪比 $SNR_i$ 比较高时才成立。当 $SNR_i$ 降低到一个特定的“门限值”以下时，解调器输出的噪声会急剧增加，输出信噪比 $SNR_o$ 发生断崖式下跌。这是因为噪声的幅度大到足以“淹没”载波，导致鉴频器输出错误的尖峰脉冲（“咔哒”声）。
• 意义: 门限效应限制了 FM 优异性能的应用范围。我们不能无限制地通过增加带宽来换取信噪比，因为带宽增加会导致输入噪声功率增加，从而使 $SNR_i$ 降低，更容易落入门限之下。

3.预加重与去加重

这是一个进一步提升 FM 抗噪声性能的技巧

• 原理: 针对 FM 解调后高频噪声大的特点
• 做法:
  1. 预加重 (发射端): 在调制前，用一个高通滤波器人为地提升基带信号的高频分量。
  2. 去加重 (接收端): 在解调后，用一个对应的低通滤波器将信号恢复原样。在恢复信号的同时，也极大地抑制了鉴频器输出的高频噪声。
• 效果: 这套组合操作可以带来额外的信噪比增益

总结#

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4-10#

题目 4.10：题 4.9 图中，基带信号 $m(t)=\cos(180\pi t)$，载频 $f_c=1$ kHz，白高斯噪声 $n_w(t)$ 的单边功率谱密度为 $N_0=10^{-5}$ W/Hz，理想带通滤波器 BPF 的通频带是 1~1.1 kHz，理想低通滤波器 LPF 的截止频率是 100 Hz。 (1) 写出希尔伯特变换 $\hat{m}(t)$ 的表达式，已调信号 $s(t)$ 的表达式； (2) $s(t)$ 的傅里氏变换表达式； (3) BPF 输出端的信噪比、LPF 输出端的信噪比。

它涵盖了单边带 (SSB) 信号的生成、频谱分析、相干解调以及信噪比 (SNR) 的全程计算

1. 相关知识点介绍#

1. 单边带调制 (SSB) - 相移法:

图示的调制器是一个典型的相移法 SSB 生成器。它通过将基带信号 $m(t)$ 和其希尔伯特变换 $\hat{m}(t)$ 分别与正交载波相乘，然后相加（或相减）来产生 SSB 信号

• 上边带 (USB): $s_{USB}(t) = m(t)\cos(2\pi f_c t) - \hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)$

• 下边带 (LSB): $s_{LSB}(t) = m(t)\cos(2\pi f_c t) + \hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)$

  观察图中，$\hat{m}(t)$ 与 $-\sin(2\pi f_c t)$ 相乘，因此生成的已调信号 $s(t)$ 是上边带 (USB) 信号

**2. 相干解调:

图示的接收机部分是一个相干解調器。它将接收到的信号（信号+噪声）与一个频率和相位都与发射端同步的本地载波（本题中为 $2\cos(2\pi f_c t)$）相乘，然后通过一个低通滤波器 (LPF) 来恢复基带信号

✅️3. 信噪比 (SNR) 计算:

SNR 的核心是分别计算在系统某个特定点上，信号的功率和噪声的功率

• 信号功率: 对于确定性信号，如 $A\cos(2\pi f t)$，其功率为 $A^2/2$。理想滤波器如果通带覆盖了信号频率，则信号功率不变；否则信号功率变为 0
• 噪声功率: 对于通过理想滤波器的白噪声，其输出功率等于输入噪声的功率谱密度乘以滤波器的带宽。注意区分单边谱密度和双边谱密度。通常计算中使用双边谱密度 $N_0/2$
  • 对于 BPF，带宽为 $2 \times (f_{high} - f_{low})$ （考虑正负频率）
  • 对于 LPF，带宽为 $2 \times f_{cutoff}$。

在知识清单中，本题涉及：

• 模拟通信系统 -> 幅度调制 -> 3. 单边带调幅 SSB AM
• 模拟通信系统 -> 线性调制的抗噪声性能
• 确定性信号分析 -> 5. 希尔伯特变换与解析信号
• 随机信号分析 -> 6. 平稳随机过程过线性系统

2. 使用的公式#

1. 希尔伯特变换: $\mathcal{H}[\cos(2\pi f_m t)] = \sin(2\pi f_m t)$
2. 三角恒等式: $\cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B) = \cos(A+B)$
3. 傅里氏变换对: $A\cos(2\pi f_0 t) \Leftrightarrow \frac{A}{2}[\delta(f-f_0) + \delta(f+f_0)]$
4. 信号功率: $P_{A\cos(\cdot)} = A^2/2$
5. 噪声通过 BPF 的功率: $P_N = 2 \times (\frac{N_0}{2}) \times (f_{high} - f_{low}) = N_0(f_{high} - f_{low})$
6. 噪声通过 LPF 的功率 (相干解调后): $P_N = 2 \times (\frac{N_0}{2}) \times (f_{cutoff}) = N_0 f_{cutoff}$

3. 解题思路和步骤#

(1) $\hat{m}(t)$ 和 $s(t)$ 的表达式#

1. **求 $\hat{m}(t)$:

   基带信号 $m(t)=\cos(180\pi t)$

   $$\hat{m}(t) = \mathcal{H}[\cos(180\pi t)] = \sin(180\pi t)$$

2. 求 $s(t)$: 根据图示，这是一个 USB 调制器。 $s(t) = m(t)\cos(2\pi f_c t) - \hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)$ 代入 $m(t)$, $\hat{m}(t)$ 和 $f_c=1000$ Hz: $s(t) = \cos(180\pi t)\cos(2000\pi t) - \sin(180\pi t)\sin(2000\pi t)$ 利用三角恒等式 $\cos(A+B)$: $s(t) = \cos(180\pi t + 2000\pi t) = \cos(2180\pi t)$

(2) $s(t)$ 的傅里氏变换#

对 $s(t) = \cos(2180\pi t)$ 进行傅里氏变换。这是一个频率为 $f_s = 2180\pi / (2\pi) = 1090$ Hz 的余弦信号。 $S(f) = \frac{1}{2}[\delta(f - 1090) + \delta(f + 1090)]$

(3) BPF 输出端和 LPF 输出端的信噪比#

首先，分析 BPF 输出端:

1. 信号功率 $S_{BPF}$:

   • 输入信号 $s(t)$ 是一个频率为 $f_s=1090$ Hz 的单音。
   • BPF 的通带是 $[1000 \text{ Hz}, 1100 \text{ Hz}]$。
   • 由于 $1000 < 1090 < 1100$，信号完全通过 BPF 而无衰减。
   • 信号幅度为 1，所以功率为： $S_{BPF} = \frac{1^2}{2} = 0.5 \text{ W}$

2. 噪声功率 $N_{BPF}$:

   • 输入白噪声的单边谱密度为 $N_0 = 10^{-5}$ W/Hz，对应的双边谱密度为 $N_0/2$。
   • BPF 的带宽（只看正频率）是 $B_{BPF} = 1100 - 1000 = 100$ Hz。
   • 噪声功率为双边谱密度乘以双边带宽： $N_{BPF} = \frac{N_0}{2} \times (2 \cdot B_{BPF}) = N_0 \cdot B_{BPF} = 10^{-5} \text{ W/Hz} \times 100 \text{ Hz} = 10^{-3} \text{ W}$

3. BPF 输出信噪比: $\text{SNR}_{BPF} = \frac{S_{BPF}}{N_{BPF}} = \frac{0.5}{10^{-3}} = 500$

其次，分析 LPF 输出端:

1. 信号功率 $S_{LPF}$:

   • BPF 的输出信号 $s(t) = \cos(2180\pi t)$ 被乘以本地载波 $2\cos(2000\pi t)$。
   • LPF 的输入信号为：$v_s(t) = \cos(2180\pi t) \cdot 2\cos(2000\pi t)$
   • 利用积化和差公式 $2\cos A \cos B = \cos(A-B)+\cos(A+B)$: $v_s(t) = \cos(2180\pi t - 2000\pi t) + \cos(2180\pi t + 2000\pi t)$ $v_s(t) = \cos(180\pi t) + \cos(4180\pi t)$
   • LPF 的截止频率是 100 Hz。第一项信号频率为 90 Hz (< 100 Hz)，通过 LPF。第二项信号频率为 2090 Hz (> 100 Hz)，被 LPF 滤除。
   • 因此 LPF 的输出信号为 $y_s(t) = \cos(180\pi t)$。
   • 其功率为： $S_{LPF} = \frac{1^2}{2} = 0.5 \text{ W}$

2. 噪声功率 $N_{LPF}$:

   • BPF 输出的带宽为 100 Hz 的带通噪声，被乘以 $2\cos(2000\pi t)$ 后，频谱被搬移到基带（0 Hz 附近）和二倍频（2 kHz 附近）。
   • 搬移到基带的噪声通过 LPF。相干解调后，输出的基带噪声的双边功率谱密度等于输入带通噪声的双边功率谱密度，即 $N_0/2$。
   • LPF 的带宽是 $B_{LPF} = 100$ Hz。
   • 输出噪声功率为： $N_{LPF} = \frac{N_0}{2} \times (2 \cdot B_{LPF}) = N_0 \cdot B_{LPF} = 10^{-5} \text{ W/Hz} \times 100 \text{ Hz} = 10^{-3} \text{ W}$

3. LPF 输出信噪比: $\text{SNR}_{LPF} = \frac{S_{LPF}}{N_{LPF}} = \frac{0.5}{10^{-3}} = 500$

结论：

• BPF 输出端的信噪比为 500。
• LPF 输出端的信噪比也为 500。
• 这是一个重要结论：对于 SSB 系统，在理想相干解调（无噪声本地载波）的情况下，解调前后的信噪比保持不变

4-11#

题目 4.11：已知某 SSB 系统中模拟基带信号 $m(t)$ 的带宽是 5 kHz，发射端发送的已调信号功率是 $P_T$，接收端收到的有用信号功率 $P_R$ 比发送功率低 60 dB，接收信号中叠加了白高斯噪声，其单边功率谱密度为 $N_0 = 10^{-13}$ W/Hz。若要求解调输出信噪比不低于 30 dB，求发送功率 $P_T$。

是一道典型的通信系统链路预算 (link budget) 问题

1. 相关知识点介绍#

1. SSB 系统的抗噪声性能:

这是解决本题的核心理论。对于采用相干解调的 SSB 系统，有一个非常重要的特性：解调过程本身不改变信噪比。也就是说，解调器输出端的信噪比 (SNR_o) 等于其输入端（即接收天线后，解调器前）的信噪比 (SNR_i)。 $\text{SNR}_o = \text{SNR}_i$

输入信噪比的定义是接收到的信号功率与信号带宽内的噪声功率之比。因此，SSB 系统的输出信噪比可以表示为：

$$\text{SNR}_o = \frac{P_R}{P_{No}} = \frac{P_R}{N_0 W}$$

其中，$P_R$ 是接收信号功率，$P_{No}$ 是输出噪声功率，$N_0$ 是噪声的单边功率谱密度，$W$ 是基带信号的带宽。这个公式是连接所有已知条件的桥梁。

2. 分贝 (dB) 的计算:

dB 是一个用于表示功率比值的对数单位，在通信工程中广泛使用

• 功率比值 (线性) -> dB: $\text{Ratio (dB)} = 10 \log_{10}(\frac{P_1}{P_2})$

• dB -> 功率比值 (线性):

  $$\frac{P_1}{P_2} = 10^{(\text{Ratio (dB)}/10)}$$

  本题中，信道衰减为 60 dB，意味着 $P_T$ 与 $P_R$ 的比值是一个非常大的数。同样，输出信噪比要求为 30 dB，也需要转换成线性比值才能代入公式计算

在知识清单中，本题直接对应于：

• 模拟通信系统 -> 线性调制的抗噪声性能 -> SSB 系统的抗噪声性能
• 模拟通信系统 -> 信噪比、调制增益

2. 使用的公式#

1. SSB 系统输出信噪比: $\text{SNR}_o = \frac{P_R}{N_0 W}$

2. dB 到线性比值的转换:

   $$\text{Ratio}_{\text{linear}} = 10^{(\text{Ratio}_{\text{dB}}/10)}$$

3. 解题思路和步骤#

解题策略是“从后往前”：

1. 根据要求的输出 SNR (dB)，计算出其线性比值。
2. 利用已知的噪声谱密度和信号带宽，计算出解调器输出的噪声功率 $P_{No}$
3. 结合 SNR 线性比值和噪声功率，计算出接收端必须达到的最小信号功率 $P_R$
4. 根据信道衰减 (dB)，计算出发射功率 $P_T$ 与接收功率 $P_R$ 的线性比值。
5. 最后，利用这个比值和已求出的 $P_R$，计算出发射端所需的最小功率 $P_T$

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步骤一：转换要求的输出信噪比

要求的输出信噪比不低于 30 dB。 $\text{SNR}_o \ge 30 \text{ dB}$ 将其转换为线性比值： $\text{SNR}_{o, \text{linear}} = 10^{(30/10)} = 10^3 = 1000$

步骤二：计算解调输出的噪声功率 $P_{No}$

输出噪声功率取决于噪声谱密度和信号带宽。

• 单边功率谱密度: $N_0 = 10^{-13}$ W/Hz
• 基带信号带宽: $W = 5 \text{ kHz} = 5000$ Hz

$P_{No} = N_0 W = (10^{-13} \text{ W/Hz}) \times (5000 \text{ Hz}) = 5 \times 10^{-10} \text{ W}$

步骤三：计算所需的最小接收功率 $P_R$

我们使用 SSB 系统的信噪比公式： $\text{SNR}_o = \frac{P_R}{P_{No}}$ 为了满足信噪比不低于 1000 的要求： $\frac{P_R}{5 \times 10^{-10}} \ge 1000$ $P_R \ge 1000 \times (5 \times 10^{-10} \text{ W}) = 5 \times 10^{-7} \text{ W}$ 所以，接收端收到的信号功率必须至少为 $5 \times 10^{-7}$ W。

步骤四：计算所需的发送功率 $P_T$

接收功率 $P_R$ 比发送功率 $P_T$ 低 60 dB。这意味着信道衰减为 60 dB。

$$10 \log_{10}(\frac{P_T}{P_R}) = 60 \text{ dB}$$

将这个衰减从 dB 转换回线性比值： $\frac{P_T}{P_R} = 10^{(60/10)} = 10^6$ 这意味着发送功率必须是接收功率的 100 万倍。 $P_T = P_R \times 10^6$ 代入我们求出的最小 $P_R$ 值： $P_T \ge (5 \times 10^{-7} \text{ W}) \times 10^6 = 5 \times 10^{-1} \text{ W} = 0.5 \text{ W}$

结论： 为了使解调输出信噪比不低于 30 dB，发送功率 $P_T$ 至少应为 0.5 W

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4-12#

1. 相关知识点介绍#

1. DSB-SC 信号与基带信号的功率关系:

对于 DSB-SC 信号 $s(t) = m(t)\cos(2\pi f_c t)$，其平均功率 $P_s$ 是基带信号 $m(t)$ 平均功率 $P_m$ 的一半（假设 $m(t)$ 无直流分量）

$$P_s = \frac{1}{2} P_m$$

这是因为调制将基带信号的功率频谱搬移到 $\pm f_c$ 处，并且幅度减半，导致功率谱密度变为原来的 1/4，但因为占据了正负两个频段，总功率是基带功率的一半。

2. 相干解调的信号与噪声变换: 如图(b)所示的相干解调器，其核心部件是乘法器和低通滤波器。

• 信号变换: 乘法器将输入的带通信号 $s(t)$ 乘以本地载波 $\cos(2\pi f_c t)$，这会将信号的频谱搬移到基带（0 Hz 附近）和二倍频（$2f_c$ 附近）。LPF 随后滤除二倍频分量，只保留基带分量。对于输入信号 $m(t)\cos(2\pi f_c t)$，解调后得到的基带信号是 $\frac{1}{2}m(t)$。
• 噪声变换: 乘法器同样将输入的带通噪声频谱搬移到基带和二倍频。LPF 滤除二倍频噪声，只保留基带噪声。

3. 输出信噪比 (SNR_o): 最终的性能指标，定义为 LPF 输出端信号的功率 $S_o$ 与噪声功率 $N_o$ 之比

$$\text{SNR}_o = \frac{S_o}{N_o}$$

本题的解题关键就是分别求出 $S_o$ 和 $N_o$。

在您的知识清单中，本题是以下知识点的综合应用：

• 模拟通信系统 -> 幅度调制 -> DSB-SC AM -> 相干解调
• 模拟通信系统 -> 线性调制的抗噪声性能 -> DSB-SC 系统的抗噪声性能
• 随机信号分析 -> 6. 平稳过程过线性系统 -> 功率谱密度

2. 使用的公式#

1. 信号功率: $P = \int_{-\infty}^{\infty} P(f) df$
2. DSB-SC 功率关系: $P_s = \frac{1}{2}P_m$
3. 相干解调输出信号: $y_s(t) = \frac{1}{2}m(t)$ (对于输入 $m(t)\cos(\cdot)$ 和本振 $\cos(\cdot)$)
4. 噪声通过 BPF 功率: $P_N = N_0 \times B$ (其中 $B$ 是 BPF 的单边带宽)
5. 相干解调输出噪声功率 (本振为 $\cos(\cdot)$): $N_o = \frac{N_{in}}{2}$，其中 $N_{in}$ 是解调器输入的带通噪声功率。

3. 解题思路和步骤#

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4-7#

题目 4.7：某调频信号的表达式为 $s(t) = 2\cos(400000\pi t + 2\sin(100\pi t))$，求其平均功率、调制指数、最大频偏以及近似带宽。

1. 相关知识点介绍#

1. 角度调制 (Angle Modulation): 与幅度调制不同，角度调制是通过改变高频载波的相位或频率来承载基带信号信息的。其优点是抗噪声性能更好，但通常需要更宽的传输带宽。角度调制的通用表达式为： $s(t) = A_c \cos[\theta_i(t)] = A_c \cos[\omega_c t + \phi(t)]$ 其中 $A_c$ 是恒定的载波幅度，$\theta_i(t)$ 是瞬时相位，$\phi(t)$ 是相对于载波相位的瞬时相位偏移。

2. 调频 (Frequency Modulation, FM): 在 FM 中，瞬时频率偏移量与基带信号 $m(t)$ 成正比。

• 瞬时频率: $f_i(t) = f_c + k_f m(t)$，其中 $k_f$ 是调频灵敏度 (Hz/V)。
• 瞬时相位: 是瞬时频率的积分，$\theta_i(t) = 2\pi \int_0^t f_i(\tau)d\tau = 2\pi f_c t + 2\pi k_f \int_0^t m(\tau)d\tau$。 对于单音正弦调制，即 $m(t) = A_m \cos(2\pi f_m t)$，FM 信号的表达式为： $s(t) = A_c \cos[2\pi f_c t + \frac{k_f A_m}{f_m} \sin(2\pi f_m t)]$

3. 关键参数:

• 平均功率 $P_s$: 由于 FM 信号的幅度 $A_c$ 是恒定的，其平均功率就等于未调制载波的功率，即 $P_s = A_c^2/2$。
• 最大频率偏移 (最大频偏) $\Delta f$: 是瞬时频率偏离载波频率的最大值。$\Delta f = k_f \max|m(t)| = k_f A_m$。
• 调制指数 $\beta$: 是一个无量纲的参数，定义为最大频偏与基带信号最高频率之比，$\beta = \frac{\Delta f}{f_m}$。它也等于瞬时相位的最大偏移量（以弧度为单位）。
• 卡森带宽准则 (Carson’s Rule): 用于估算 FM 信号的近似带宽。该准则指出，传输 FM 信号所需的带宽约等于最大频偏与基带信号最高频率之和的两倍。 $B_T \approx 2(\Delta f + f_m) = 2(\beta+1)f_m$

在您的知识清单中，本题覆盖了：

• 模拟通信系统 -> 角度调制 -> 角度调制概念
• 模拟通信系统 -> 角度调制 -> 频谱：宽带、窄带调频 -> 角度调制信号带宽的确定 -> 卡松公式

2. 使用的公式#

1. 单音 FM 信号标准形式: $s(t) = A_c \cos(2\pi f_c t + \beta \sin(2\pi f_m t))$
2. 平均功率: $P_s = \frac{A_c^2}{2}$
3. 调制指数与最大频偏的关系: $\beta = \frac{\Delta f}{f_m}$
4. 卡森带宽公式: $B_T \approx 2(\Delta f + f_m)$

3. 解题思路和步骤#

步骤一：识别信号参数#

将给定的信号表达式与单音 FM 信号的标准形式进行比较：

• 给定信号: $s(t) = 2\cos(400000\pi t + 2\sin(100\pi t))$
• 标准形式: $s(t) = A_c \cos(2\pi f_c t + \beta \sin(2\pi f_m t))$

通过直接对比，我们可以识别出以下参数：

• 幅度 $A_c$: $A_c = 2$
• 载波角频率 $\omega_c$: $2\pi f_c = 400000\pi \implies f_c = 200000$ Hz = 200 kHz
• 基带角频率 $\omega_m$: $2\pi f_m = 100\pi \implies f_m = 50$ Hz
• 调制指数 $\beta$: $\beta = 2$

步骤二：计算各项指标#

1. 平均功率 $P_s$: $P_s = \frac{A_c^2}{2} = \frac{2^2}{2} = 2 \text{ W}$

2. 调制指数 $\beta$: 从信号表达式中直接读出： $\beta = 2$

3. 最大频偏 $\Delta f$: 利用公式 $\beta = \Delta f / f_m$，我们可以反推出最大频偏。 $\Delta f = \beta \cdot f_m = 2 \cdot 50 \text{ Hz} = 100 \text{ Hz}$

4. 近似带宽 $B_T$: 使用卡森带宽准则。 $B_T \approx 2(\Delta f + f_m) = 2(100 \text{ Hz} + 50 \text{ Hz}) = 2(150 \text{ Hz}) = 300 \text{ Hz}$

最终结论:

• 平均功率: 2 W
• 调制指数: 2
• 最大频偏: 100 Hz
• 近似带宽: 300 Hz

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FM 调制#

1. 什么是调频？#

调频 (FM) 的核心思想是：让载波信号的瞬时频率随着基带信号（信息信号）的幅度变化而线性变化，而载波的幅度保持恒定

为了更形象地理解，可以做一个对比：

• 调幅 (AM): 想象你在说话，你的声音（信息）控制了手电筒光束的亮度（幅度）。声音大，光束亮；声音小，光束暗。
• 调频 (FM): 同样你在说话，但这次你的声音控制了光束颜色的快速变化（频率）。声音大，颜色在红橙黄之间变化得很快；声音小，变化得慢。而光束的亮度（幅度）始终不变。

这种“幅度恒定”的特性是 FM 能够出色抵抗噪声干扰的关键原因

2. 数学表达式#

角度调制的通用表达式为： $s(t) = A_c \cos[\theta_i(t)]$ 其中，$A_c$ 是恒定的载波幅度，$\theta_i(t)$ 是信号的瞬时相位。

而瞬时角频率 $\omega_i(t)$ 是瞬时相位的导数： $\omega_i(t) = \frac{d\theta_i(t)}{dt} \quad \text{或} \quad f_i(t) = \frac{1}{2\pi}\frac{d\theta_i(t)}{dt}$

在 FM 中，我们要求瞬时频率 $f_i(t)$ 随基带信号 $m(t)$ 线性变化： $f_i(t) = f_c + k_f m(t)$ 这里的 $f_c$ 是未调制时的载波频率，$k_f$ 是调频灵 iv 敏度 (Hz/V)，它表示单位幅度的基带信号能引起多大的频率偏移。

为了得到 FM 信号的表达式 $s(t)$，我们需要对瞬时频率积分以求得瞬时相位 $\theta_i(t)$: $\theta_i(t) = 2\pi \int_0^t f_i(\tau)d\tau = 2\pi \int_0^t [f_c + k_f m(\tau)]d\tau$ $\theta_i(t) = 2\pi f_c t + 2\pi k_f \int_0^t m(\tau)d\tau$ 将此相位代入通用表达式，就得到了 FM 信号的最终形式： $s_{FM}(t) = A_c \cos\left(2\pi f_c t + 2\pi k_f \int_0^t m(\tau)d\tau\right)$

3. 关键参数#

当基带信号为单音正弦信号 $m(t) = A_m\cos(2\pi f_m t)$ 时，分析最为方便。此时，FM 信号表达式变为： $s_{FM}(t) = A_c \cos\left(2\pi f_c t + \frac{k_f A_m}{f_m} \sin(2\pi f_m t)\right)$ 由此引出 FM 的几个核心参数：

• 平均功率 (Average Power): 由于幅度 $A_c$ 恒定，FM 信号的平均功率与其是否被调制无关，始终为 $P_s = \frac{A_c^2}{2}$。

• 最大频偏 (Maximum Frequency Deviation, $\Delta f$): 指瞬时频率偏离载波频率 $f_c$ 的最大值。 $\Delta f = k_f \cdot \max|m(t)| = k_f A_m$

• 调制指数 (Modulation Index, $\beta$): 这是一个非常重要的无量纲参数，定义为最大频偏与基带信号最高频率之比。 $\beta = \frac{\Delta f}{f_m}$ 调制指数 $\beta$ 决定了 FM 信号的频谱特性，并是区分宽带 FM 和窄带 FM 的依据。

4. FM 信号的带宽：卡森准则#

理论上，一个 FM 信号包含无穷多个旁瓣（由贝塞尔函数描述），频谱是无限宽的。但在工程上，我们只需要传输其绝大部分能量所在的频带即可。卡森准则 (Carson’s Rule) 提供了一个简单有效的近似带宽计算方法： $B_T \approx 2(\Delta f + f_m) = 2(\beta + 1)f_m$ 这个公式的物理意义是：FM 带宽约等于两倍的最大频偏与两倍的基带带宽之和。

根据调制指数 $\beta$ 的大小，FM 又分为两类：

• 窄带调频 (NBFM): 当 $\beta \ll 1$ 时。此时 $\Delta f$ 远小于 $f_m$，带宽主要由基带频率决定，$B_T \approx 2f_m$。其频谱特性和带宽都与 AM 信号类似。
• 宽带调频 (WBFM): 当 $\beta \ge 1$ 时。此时 $\Delta f$ 较大，带宽主要由频偏决定，$B_T \approx 2\Delta f$。商业 FM 广播就是典型的 WBFM。

5. 优缺点与应用#

主要应用:

• 高保真音乐广播: 商业 FM 广播 (88-108 MHz) 利用其宽带宽和抗噪声性提供高质量的音频。
• 模拟电视伴音: 电视信号的伴音部分采用 FM 传输。
• 双向无线电: 对讲机、出租车、警用电台等，追求的是通话的可靠性。
• 卫星通信: 卫星下行链路功率有限，FM 的恒定包络和抗噪声性非常有利。

FM 是一种通过牺牲带宽来换取强大抗噪声性能和高发射效率的调制方式，在许多追求高质量和高可靠性的通信场景中得到了广泛应用

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我们以一个最简单、最典型的情况为例：我们要传输一个纯音（比如一个固定音高的“嘟——”声），这个纯音可以用一个正弦波来表示，即基带信号 $m(t) = A_m \cos(2\pi f_m t)$。

下面是您提到的四个参数的详细定义：

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1. $A_c$ - 载波幅度#

• 定义: $A_c$ 是载波信号的峰值幅度，也就是它的最大振幅或强度。载波是一个纯净的高频正弦波，它的作用就像一辆“货车”，负责运载我们的信息。
• 物理意义: 它决定了整个调频信号的发射功率。$A_c$ 越大，信号功率越强，传输得就越远。在整个调频过程中，$A_c$ 始终保持不变，这是 FM 与 AM 最根本的区别。
• 单位: 伏特 (Volts, V)。

2. $f_m$ - 基带信号频率#

• 定义: $f_m$ 是我们想要传输的信息信号（也称基带信号或调制信号）的频率。在我们的纯音例子中，$f_m$ 就代表了这个声音的音高。
• 物理意义: 一个高音调的声音（如口哨声）对应一个大的 $f_m$，一个低音调的声音（如鼓声）对应一个小的 $f_m$。它决定了载波频率变化的快慢。
• 单位: 赫兹 (Hertz, Hz)。

3. $A_m$ - 基带信号幅度#

• 定义: $A_m$ 是信息信号的峰值幅度。在我们的纯音例子中，$A_m$ 就代表了这个声音的音量或响度。
• 物理意义: 一个响亮的声音对应一个大的 $A_m$，一个轻柔的声音对应一个小的 $A_m$。在调频中，$A_m$ 直接决定了载波频率偏移的程度。声音越响 ($A_m$ 越大)，载波频率的变化范围就越大。
• 单位: 伏特 (Volts, V)。

4. $k_f$ - 调频灵敏度#

• 定义: $k_f$ 是调频器这个硬件设备自身的特性参数。它是一个比例常数，定义了输入信息信号的电压每变化 1 伏特，能够引起载波频率变化多少赫兹。
• 物理意义: 它就像一个“灵敏度旋钮”，决定了调频器对输入信号音量的反应有多剧烈。
  • 如果 $k_f$很大，一个很小的音量 ($A_m$) 就能引起载波频率的巨大偏移。
  • 如果 $k_f$很小，即使音量很大 ($A_m$)，载波频率的偏移也有限。
• 单位: 赫兹/伏特 (Hertz per Volt, Hz/V)。

总结与关联#

现在，我们可以把这些参数串联起来，理解它们是如何协同工作的：

1. 信息信号的**“响度”($A_m$)** 与调频器的**“灵敏度”($k_f$)** 相乘，共同决定了载波频率偏移的最大范围，也就是最大频偏 $\Delta f$。 $\Delta f = k_f \cdot A_m$ 这个 $\Delta f$ 才是我们能直观感知到的“频率变化范围”。

2. 信息信号的**“音高”($f_m$)** 决定了这种频率来回变化的速度。

3. 最终，这些参数共同构成了我们之前看到的单音调频信号的完整表达式：

   $$s_{FM}(t) = \underbrace{A_c}_{\text{信号强度}} \cos\left(2\pi f_c t + \underbrace{\frac{\overbrace{\Delta f}^{k_f A_m}}{\underbrace{f_m}_{\text{音高}}}}_{\text{调制指数 }\beta} \sin(2\pi \underbrace{f_m}_{\text{音高}} t)\right)$$

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好的，这是一个非常核心的概念。理解调频 (FM) 与调相 (PM) 的异同与联系，是掌握整个角度调制的关键。

我们将从一个直观的类比开始，然后深入到数学定义和关键参数的对比。

1. 核心思想：一个直观的类比

想象你在一条笔直的路上开车，你的基带信号 $m(t)$ 是你踩油门的力度。

• 调频 (FM - Frequency Modulation): 油门力度 $m(t)$ 直接控制你的瞬时速度 $f_i(t)$。 你踩得越深，车速越快；踩得越浅，车速越慢。这非常符合直觉。车速就是频率，油门力度就是基带信号幅度。

• 调相 (PM - Phase Modulation): 油门力度 $m(t)$ 直接控制你相对于起点的瞬时位置 $\phi(t)$。 这个就比较奇怪了。为了保持一个固定的位置（相位），你必须松开油门；为了让位置（相位）持续增加，你就必须持续踩着油门。你的车速（频率）取决于你改变油门力度的方式（基带信号的变化率/导数）。

这个类比揭示了两者最根本的关系：速度是位置的导数（变化率），因此，频率是相位的导数（变化率）。这个关系是连接 FM 和 PM 的桥梁。

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2. 数学定义与关系#

我们从角度调制的通用表达式开始： $s(t) = A_c \cos[2\pi f_c t + \phi(t)]$ 其中，$\phi(t)$ 是由基带信号 $m(t)$ 决定的相位偏移。FM 和 PM 的区别就在于 $\phi(t)$ 与 $m(t)$ 的关系不同。

调相 (PM)#

在 PM 中，相位偏移 $\phi(t)$ 与基带信号 $m(t)$ 成正比。 $\phi(t) = k_p m(t)$ 其中 $k_p$ 是调相灵敏度（单位：弧度/伏特）。 因此，PM 信号的完整表达式为： $s_{PM}(t) = A_c \cos[2\pi f_c t + k_p m(t)]$

调频 (FM)#

在 FM 中，频率偏移 $\Delta f(t)$ 与基带信号 $m(t)$ 成正比。 $\Delta f(t) = f_i(t) - f_c = k_f m(t)$ 其中 $k_f$ 是调频灵敏度（单位：赫兹/伏特）。 由于频率是相位的导数，即 $\Delta f(t) = \frac{1}{2\pi}\frac{d\phi(t)}{dt}$，所以要得到相位偏移 $\phi(t)$，我们需要对频率偏移进行积分。 $\phi(t) = 2\pi \int_0^t \Delta f(\tau) d\tau = 2\pi k_f \int_0^t m(\tau)d\tau$ 因此，FM 信号的完整表达式为： $s_{FM}(t) = A_c \cos\left[2\pi f_c t + 2\pi k_f \int_0^t m(\tau)d\tau\right]$

两者关系：一个可以用另一个生成#

这个积分/微分关系意味着，我们可以用简单的预处理电路，让一个调制器干另一个的活：

• 用 PM 调制器生成 FM 信号: 先将基带信号 $m(t)$ 通过一个积分器，再将积分后的信号送入 PM 调制器。 $m(t) \xrightarrow{\text{积分}} \int m(t) dt \xrightarrow{k_p} k_p \int m(t) dt \quad \implies \text{生成 FM}$

• 用 FM 调制器生成 PM 信号: 先将基带信号 $m(t)$ 通过一个微分器，再将微分后的信号送入 FM 调制器。 $m(t) \xrightarrow{\text{微分}} \frac{dm(t)}{dt} \xrightarrow{2\pi k_f \int} 2\pi k_f \int \frac{dm(\tau)}{d\tau}d\tau = 2\pi k_f m(t) \quad \implies \text{生成 PM}$

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3. 重要参数对比#

我们以最常见的单音正弦基带信号 $m(t) = A_m \cos(2\pi f_m t)$ 为例，对比两者的关键参数。

总结#

简单来说，FM 是对基带信号的积分进行调相，而 PM 是对基带信号的微分进行调频。这个对偶关系是理解和分析角度调制系统的基础。

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当然，这是一个非常好的要求。通过一个具体的例子，可以把所有抽象的公式和概念都联系起来。

我们就以一个典型的商业 FM 广播场景为例，一步步求解其所有重要参数。

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示例问题#

假设一个 FM 广播电台要播放一个频率为 2 kHz、幅度为 4 V 的纯音信号。电台使用的发射机参数如下：

• 载波频率 ($f_c$): 100 MHz
• 载波幅度 ($A_c$): 10 V
• 调频灵敏度 ($k_f$): 20 kHz/V

求： 该 FM 信号的平均功率、最大频偏、调制指数、近似带宽，并写出其最终的时域表达式。

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解题步骤#

第 1 步：分析基带信号

首先，我们写出基带信号 $m(t)$ 的标准表达式。这是一个纯音，所以是正弦波： $m(t) = A_m \cos(2\pi f_m t)$ 根据题目信息，我们得到：

• 基带信号幅度 $A_m = 4$ V (代表音量)
• 基带信号频率 $f_m = 2$ kHz = 2000 Hz (代表音高)

第 2 步：计算平均功率 ($P_s$)

FM 信号的幅度是恒定的，由载波幅度 $A_c$ 决定。

• 公式: $P_s = \frac{A_c^2}{2}$
• 计算: $P_s = \frac{(10 \text{ V})^2}{2} = \frac{100}{2} = 50 \text{ W}$
• 结论: 信号的平均功率为 50 W。这个功率与基带信号的音量或音高完全无关。

第 3 步：计算最大频偏 ($\Delta f$)

最大频偏表示载波频率偏移的极限，它由基带信号的最大幅度 $A_m$ 和调频器的灵敏度 $k_f$ 共同决定。

• 公式: $\Delta f = k_f \cdot A_m$
• 计算: $\Delta f = (20 \text{ kHz/V}) \times (4 \text{ V}) = 80 \text{ kHz}$
• 结论: 最大频偏为 80 kHz。这意味着，当基带信号达到峰值时，发射信号的瞬时频率会在 $100 \text{ MHz} \pm 80 \text{ kHz}$ 的范围内摆动。

第 4 步：计算调制指数 ($\beta$)

调制指数是最大频偏与基带信号频率的比值，它衡量了频率摆动的范围相对于摆动速度的大小。

• 公式: $\beta = \frac{\Delta f}{f_m}$
• 计算: $\beta = \frac{80 \text{ kHz}}{2 \text{ kHz}} = 40$
• 结论: 调制指数为 40。因为 $\beta = 40 \gg 1$，所以这是一个典型的宽带调频 (WBFM) 信号。

第 5 步：计算近似带宽 ($B_T$)

我们使用卡森准则来估算传输该信号所需的频谱宽度。

• 公式: $B_T \approx 2(\Delta f + f_m)$
• 计算: $B_T \approx 2(80 \text{ kHz} + 2 \text{ kHz}) = 2(82 \text{ kHz}) = 164 \text{ kHz}$
• 结论: 该 FM 信号的近似带宽为 164 kHz。这解释了为什么 FM 广播电台需要比 AM 电台宽得多的信道（通常分配 200 kHz）。

第 6 步：写出最终的时域表达式

现在，我们将所有计算出的参数代入单音调频信号的标准时域公式中。

• 公式: $s_{FM}(t) = A_c \cos(2\pi f_c t + \beta \sin(2\pi f_m t))$
• 代入参数:
  • $A_c = 10$ V
  • $f_c = 100 \text{ MHz} = 100 \times 10^6$ Hz
  • $\beta = 40$
  • $f_m = 2 \text{ kHz} = 2000$ Hz
• 最终表达式: $s(t) = 10 \cos\left(2\pi(100 \times 10^6)t + 40\sin(2\pi(2000)t)\right)$

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总结#

通过这个例子，我们完整地分析了一个 FM 信号：

• 平均功率: 50 W
• 最大频偏: 80 kHz
• 调制指数: 40 (宽带 FM)
• 近似带宽: 164 kHz
• 时域表达式: $s(t) = 10 \cos(2\pi(10^8)t + 40\sin(4000\pi t))$