张宇高数第一讲知识点复习

题目一#

函数

$$f(x)=\frac{|x|^x-1}{x(x+1)\ln|x|}$$

的可去间断点的个数为( )。

疑惑一：为什么分子的变形 $|x|^x-1 = e^{x\ln|x|}-1$ 之后，在 $x \to 0$ 时，仍可使用等价无穷小 $e^x - 1 \sim x$？

该问题的核心是一个需要记忆的重要结论：

$$\lim_{x \to 0}x\ln|x| = \lim_{x \to 0}\frac{\ln|x|}{\frac{1}{x}}\\\text{(洛必达)} =\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0}(-x) = 0$$

即：

$$\lim_{x \to 0}x\ln|x| = 0 \\ \implies \lim_{x \to 0}x\ln x = 0$$

这个极限经常考，而一般我们都记的下面的式子一，但实际上加了绝对值，极限仍然是 0。

$$e^{f(x)}-1 \sim f(x)$$

该等价无穷小的使用前提是指数部分的 $f(x)$ 趋近于 0，只要它趋近于 0，那就能用。

知道这个极限后，题目中的分子 $|x|^x-1 = e^{x\ln|x|}-1$ 在 $x=0$ 时就可以等价为 $x \ln |x|$。

间断点为 $x=0, x=1, x=-1$：

当 $x\to0$ 时，

$$\lim_{x \to 0}f(x) = \lim_{x \to 0}\frac{x\ln|x|}{x(x+1)\ln|x|} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{x+1} = 1$$

极限存在，因此 $x=0$ 是可去间断点。

当 $x\to 1$时，$x\ln|x| \to 1 \cdot \ln(1) = 0$，分子的指数趋近于 0 ，同样可以使用等价无穷小。

$$\lim_{x \to 1}f(x) = \lim_{x \to 1}\frac{x\ln|x|}{x(x+1)\ln|x|} = \lim_{x \to 1}\frac{1}{x+1} = \frac{1}{2}$$

极限存在，因此 $x=1$ 是可去间断点。

当 $x \to -1$ 时，$x\ln|x| \to -1 \cdot \ln(1) = 0$：

$$\lim_{x \to -1}f(x) = \lim_{x \to -1}\frac{x\ln|x|}{x(x+1)\ln|x|} = \lim_{x \to -1}\frac{1}{x+1} = \infty$$

极限为无穷大，因此 $x=-1$ 是无穷间断点，非一类间断点。

因此可去间断点共有 $2$ 个。

反思：

当时不理解的地方就是 $x\to0$ 处分子的 $|x|^x-1 = e^{x\ln|x|}-1$ $x \ln x$ 是 $0 \cdot \infty$ ，这怎么能用等价无穷小的。才发现分子的这个极限之前已经推过了，就是：

$$\lim_{x\to 0} x \ln x = 0$$

这个极限值，当为 $|x|$ 时，不论是 $0^+$ 还是 $0^-$ 都是 0。

题目二#

$$f(x) = \lim_{t \to +\infty} \frac{x+e^{tx}}{1+e^{tx}}$$

$x=0$ 是 $f(x)$ 的（ ）

A. 跳跃间断点； B. 无穷间断点； C. 可取间断点； D. 震荡间断点

疑惑：当 $x>0$ 时，算式为 $\frac{\infty }{\infty }$ 型，似乎要变为 $\frac{0}{0}$ 型才能求解，怎么变。

由 $t \to +\infty$ 且 $x > 0$，则 $tx \to +\infty$，从而 $e^{tx} \to +\infty$，此时是 无穷比无穷，变为 0 比 0 的方法一般为分子分母同时除以无穷量：

$$f(x) = \lim_{t \to +\infty} \frac{x+e^{tx}}{1+e^{tx}} = \lim_{t \to +\infty} \frac{\frac{x}{e^{tx}} + 1}{\frac{1}{e^{tx}} + 1}$$

这样当 $t \to \infty$ 时，$f(x) = 1(x>0)$。

这种函数里面嵌套一个极限的求解时，一般以分段函数方式讨论特定 $x_0$ 处的极限情况。该题求解 $f(x)$ 需讨论 $t \to +\infty$ 时指数函数 $e^{tx}$ 的极限状态，该状态取决于 $x$ 的正负号。

当 $x>0$ 时如上所述，最终结果是：

$$f(x) = \frac{0+1}{0+1} = 1 \quad (x > 0)$$

当 $x<0$ 时，$tx \to -\infty$，因此 $e^{tx}\to 0$：

$$f(x) = \lim_{t \to +\infty} \frac{x+e^{tx}}{1+e^{tx}} = \frac{x + 0}{1 + 0} = x \quad (x < 0)$$

$x=0$时直接带入得到 $f(0) = \frac{1}{2}$。

最终结果：

$$f(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ \frac{1}{2}, & x = 0 \\ x, & x < 0 \end{cases}$$

刷题总结#

第一讲的刷题，总的来说是极限的求解。

极限求解一般有几种体型：

1. 最常考的就是填空题，默认极限存在，且 $x$ 趋近于某个值。
2. 设定极限存在，但是有几个未知的参数，需要你根据极限的式子求解参数。
3. 判断某一点极限是否存在，让你讨论点 $x_0$ 两侧的极限情况。
4. 告诉你在某点 $x_0$ 处连续，然后让你求解该点的极限，这时候$f(x)$里可能存在未知参数。
5. 告诉你在某区间 $I=[a,b]$ 连续，让你求解未知参数或者区间端点的单侧极限。
6. 给定一个有理数多项式的比例式，让你求解极限。

一般的求解顺序就是：先观察式子能否使用恒等变形化简，再考虑等价无穷小、洛必达、taylor 等极限的手段。

第 1 点一般就是考察你的恒等变换能力，然后使用等价无穷小、洛必达、Taylor 等手段求解极限。

恒等变换一般会考：三角变换、倒代换、分子有理化（当分子是多个根号相加减时，例如$\sqrt{1+\tan(x)}- \sqrt{1+\sin(x)}$）等。

等价无穷小实际上由 Taylor 展开得到，因此 Taylor 的常用公式必须记住，特别是阴间的 $\tan(x)$，$\arctan(x)$，$(1+x)^\alpha$这些。

这里可以注意一种无穷小代换的方法（脱帽法）：

如果 $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = c$，那么实际上 $\frac{f}{g} = c + o(g(x))$ ，其中 $o(g)$ 就是$f$关于$g$ 的高阶无穷小（皮亚诺余项）。因此脱帽法常用于解决 $f(x)$ 有部分函数$h(x)$未知的情况，例如：

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x + xf(x)}{x^3} = 1$$

求：

$$\lim_{x\to0}\frac{2\cos x+f(x)}{x^2}=\ ?$$

可以使用脱帽法先从第一个极限得到 $f(x)$ 的表达式，再带入第二个极限求解。

洛必达特别适合用于第一种类型或者说，填空题。因为默认极限存在，不需要考虑洛必达后的极限是否存在这个问题（狠狠开导）。

除此之外，两个重要极限也必须记住，以及上面题目出现的 $\lim_{x\to0} x\ln x =0$ 这个极限，特别是 $\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x} }$ 这个，遇到 $1^{\infty }$ 类型的，绝对会用到。

此外还有一些题型：

无穷小的比阶也经常考，例如：

1. 给定某个函数$f(x)$，告知你它和另一个函数 $g(x)$ 是同阶或者 K 阶无穷小，让你求 $g(x)$ 的表达式，或者是多少阶的无穷小。
2. 另一种就是关于高阶无穷小的理解和比阶，这种一般以抽象函数的形式考察。例如告诉你 $x\to0$时 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小，即 $\frac{f}{g}=0$ ，然后围绕 $f$ 和 $g$ 不断变换比例式。例如问你 $f(x)g(x) = o(g^2(x))$, $f(x)=o(g^2(x))$ 是否正确。

第 1 点通常使用比阶解决，即直接将 $f(x), g(x)$ 进行比阶：

$$\lim_{x\to0} \frac{f(x)}{g(x)} = c(c\in C)$$

一般都是给的 $g(x)$ 是一个有理多项式，例如 $x^n$ （$n$ 未知，假设题目告诉你这是同阶无穷小，让你求 $n$），然后 $f(x)$ 很复杂，例如 $\ln \frac{x+2}{2+\sin x}$。

本质上就是考你前面对极限的化简和计算，然后把这个极限变为 $\frac{0}{0}$ 的未定式。

第 2 点类型的题目要注意一点：$f(x)$ 是 $g^n(x)$ 的高阶无穷小，即 $f(x) = o(g^n(x))$，那就是 $f(x)$ 和 $g^n(x)$ 比阶，绝对不是和 $g(x)$比阶。一句话：谁是谁的高阶/ K 阶无穷小，就是谁和谁比阶，和 $g$ 是多少次幂无关。$g$ 和 $g^2$ 是互不相干的两个函数，我就错在这里。

关键知识点笔记#

Taylor 展开#

函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式（麦克劳林展开式）的一般形式为：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 +\cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)$$

其中 $R_n(x)$ 为 Peano 余项。

以下都是 $Taylor$ 在 $x=0$ 处的展开式，因为特别重要和常考，直接列出：

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$$ $$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + o(x^{2n})$$ $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1})$$ $$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n)$$ $$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)$$ $$\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + o(x^7)$$ $$\arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + \frac{5}{112}x^7 + o(x^7)$$ $$\arctan x = x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 - \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+2})$$ $$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + o(x^n)$$ $$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-1)^n x^n + o(x^n)$$

一般来说记忆前三项即可，通项列出来看看而已。后面两个实际上是 $(1+x)^\alpha$ 的特殊情况而已，可以不记。

注意：这些公式里的 $x$ 可以很复杂很复杂，可以是一个复杂的复合函数 $f\{g[h(x)]\}$ ，只要满足 $f\{g[h(x)]\}\to 0$，或者说，是上面公式里的 $x \to 0$ ，就可以套用上面的公式。

我不在乎 $x$ 是什么，我只在乎 $x$ 是否满足“趋近于 0”这个条件。

三个重要极限#

最常考：

$$\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$$

它的变式：

$$\lim_{x\to\infty }(1+\frac{1}{x} )^{x}$$

最阴间：

$$\lim_{x \to 0}x\ln|x| = 0$$

显然 $\lim_{x \to 0}x \ln x = 0$ 包含在里面。

还有一个：

$$\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

这个也常用，但绝不可能这么简单考你，会结合一些恶心的函数考你，例如：

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{|x|}\cdot \arctan{\frac{1}{|x|} }$$

问你它在 $x=0$ 处是否有间断点，或者连续。

纸质笔记#