计算机组成原理：补码的表示范围与推导过程详解

为什么补码的表示范围是 $-2^n \leq x \leq 2^n-1$#

如果以 8 比特为例，那么原码的表示范围是 $-127 \to +127$，补码的表示范围是 $-128 \to + 127$。如果我们使用方法：“补码是原码的反码+1”对 -128 进行逆推获取其原码，得到值为 $1000\ 0000$。但如果我们使用原码推导最小的补码时，显然最小的原码是 $1111\ 1111$，它的补码是 $1000\ 0001$，也就是 -127。

这是正确的，但忽略了一个问题。在原码里，0 有两种表示形式：+0 和 -0（$1000 \ 0000$）；但在补码里，+0 和 -0 统一用 $0000\ 0000$ 表示，因此补码多了一个 $1000\ 0000$ 用来表示一个数值，在计算机里，要构成一个循环（circle），那么这个数值是必须要填补的（也是为了最大化利用资源）。

那么为什么必须是 -128，-0 又为什么能用全 0 表示？#

先明确一个前提：计算机现在只分配 8bit 来存储这个数，且采取高位截断的方式存储。也就是说，这个容器的大小只有 8 bit，范围是 $0000\ 0000 \to 1111\ 1111$，多的只能截断舍弃。

我们先使用原码的 -0 去找它的补码：$1\ 0000\ 0000$，由于计算机里存储时只有 8 bit，所以最高位的 1 被丢弃， -0 的补码在容器里表示数值为 $0000\ 0000$，这样，+0 和 -0 在计算机里的表示形式正好相同！（因为位数/容量不够舍弃了 1，恰好统一正负 0 的表示形式）

那么多余出来的 $1000\ 0000$ 为什么正好表示 -128 呢？我们先使用上面的“补码是原码的反码+1”方法求 -128 的原码：$1\ 1000\ 0000$。从“原码推导补码”的角度看，它“溢出”了，所以 8 bit 的原码表示范围是 $-127 \to +127$，不包含 $-128$。但请注意，这个计算方法只适合原码未溢出前的快速计算，实际上补码并不是使用这种方式得到的！

计算机科学中，补码的真正数学定义并不是“原码取反加 1”（这只是一个方便人类口算的捷径，且只在原码没溢出内可使用），它的真实面目是模运算。

对于 8 bit 系统，它的模（容量）是 $2^8 = 256$。在模运算中，负数的补码定义是：补码 = 模 + 这个负数 。这就像把时钟拨退 2 小时，等于往前拨 10 小时：$12 + (-2) = 10$

接下来使用模运算求解 -128 对应的补码：

$$[-128]_{补码} = 256 + (-128) = 128$$

把十进制的 128 转换成 8 位二进制，结果正好就是 $1000\ 0000$，也就是说， -128 的补码形式正好是 $1000\ 0000$。到这，你就应该明白了 $-128$ 的补码形式为什么是 $1000\ 0000$，为什么 $1000\ 0000$ 的原码十进制数值是 $-128$ 。

那么 -128 的原码长什么样？#

前文提到，8 bit 的表示范围是$-127 \to +127$，-128 是溢出的（计算机高位截断）。所以可用字长扩充方式，将容量扩充到 16 bit。显然，-128 的原码为：$1000\ 0000\ 1000\ 0000$（最高位是符号位 1，数值部分是 128），补码为：$1111\ 1111\ 1000\ 0000$。现在，假设把这个 16 bit 的补码，强行截断（丢弃高 8 位），塞进 8 bit 的寄存器里，剩下的是什么？正好就是 $1000\ 0000$，再次解释了 -128 的由来和补码的表示范围为：$-128 \to +127$

那么上面的方法：补码=原码取反+1 什么时候可用？#

通过讨论应该明白：只有表示的数值不超过原码的表示范围时，该方法才可使用，因为补码的下限是比原码要多一位的，而原码无法表示出这一位数据。