IEEE754 浮点数 • Atri Website

核心内容#

IEEE 754 浮点数的存储格式（表示方式），尤其是单精度✅️
IEEE 754 规格化的表示范围✅️
真值和浮点数之间的转换计算✅️
超出规格范围（溢出）后的处理（二轮再回来看）
几种特殊状态：阶码全 1/0
浮点数的加减运算（二轮再说）
数据的存储方式：大端、小端✅️

表示#

浮点数采用科学计数法记录。

一个浮点数由符号位 s、阶数 e、尾数 f 和基数 R 组成，例如 $+ 3.026 \times 10^{11}$ ，从左到右分别为： $s\ f \ \times R^{e}$

规格化：把尾数最高位的非 0 数位正好在小数点之前。

例如图中的两个非规格表示，其规格化表示为：

由此，引出二进制下的规格化浮点数：基数 R 默认是 2，而它同样由符号位、阶数、尾数、基数组成。

这样，将浮点数规格化后，可方便采用规范化格式将浮点数存储于计算机。

存储格式#

IEEE 754 有两种精度：32 位和 64。

s\ f \ \times\ R^{e}

在 32 位单精度格式，它包含 1 位符号位、8 位阶码、23 位尾数。由于规格化的二进制浮点数，其尾数小数点前一位一定是 1，且默认 R=2（二进制），因此可以不显示最高位的 1，我们常称其为隐藏位。这样 f 虽然只有 23 bit，但实际表示的是 24 bit 的有效数字。例如 $(12)_{10} = (1100)_2$ ，规格化表示为 $+1.100\times 2^3$ ，实际上存储时， $f=100\ ......$ ，小数点前的 “1” 并不实际存储，阶码保存的是 3 的编码值。

64 位的处理和 32 位一样，只是阶码和尾数的位数不同。

阶码表示的是可存储的数值范围，后续展开说明。

阶码采用移码方式表示，且偏置值为 $2^{n-1}-1$ ，因此 32 位和 64 位的偏置值分别为 127 和 1023。这样实际 32 位浮点数的阶码的存储为：

e + 127 = res

res 才是要存储的二进制值的十进制表示。

偏置值是移码的一种形式，可以类比于模电中的直流偏置，即在原信号的基础上提供一个直流偏置

例如图中阶码是 2，所以 res = 129，存储的就是 129 的二进制值（移码只是告诉你存储的形式，实际上计算没用到）

真值表示#

IEEE 754 32 位浮点数的真值表示：

(-1)^s\times 1.f \times 2^{e-127}

64 位的真值表示：

(-1)^s\times 1.f \times 2^{e-1023}

其中单精度浮点数的 e 取值范围为： $1 \to 254$ （全 0 和全 1 用于特殊表示），双精度为： $1\to 2046$ （用途相同）。

取值范围#

由上面阶码 e 的取值范围，实际上可以得到单精度和双精度的绝对值表示范围。

上面是阶码无符号整数的二进制表示范围，而以下需要先转为真值（减去偏置值）。

以 32 位为例子，其阶码在二进制中由于不能全 0 或全 1，因此二进制表示为 0000 0001 到 1111 1110，转为十进制就是 1 到 254；再减去偏置值 127，得到阶码的真值范围：-126 ~ 127。

因此 32 位能表示的最小值，它的真值的阶码是 -126，尾数是 1.0；最大值的阶码是 +127，和下表相同。

位数	最小值	最大值
单精度（32 位） 1+8+23	$e=1,f=0$ 真值为 $1.0 \times 2^{1-127}$	$e=254,f=.111...$ 真值为 $1.111...\times 2^{254-127}=2^{127}\times(2^1-2^{-23})$
双精度（64 位） 1+11+52	$e=1,f=0$ 真值为 $1.0 \times 2^{1-1023}$	$e=2046,f=.111...$ 真值为 $1.111...\times 2^{2046-1023}=2^{1023}\times(2^1-2^{-52})$

疑惑： $2^{127}\times(2^1-2^{-23})$ 是由于小数部分的原码（真值）的二进制表示是 ---- 不懂

十进制真值与二进制单精度浮点数的转换#

以这个例题说明。

先把真值 $-6.75$ 转为二进制表示，再转为规格化的二进制科学计数法。
注意我们的构造表达式： $(-1)^s\times 1.f \times 2^{e-127}$
由规格化浮点数式子可知： $s=1，e=2，f=(1).1011$
由偏置值公式： $res= e-127$ 得到 $res=129$ ，进而得到阶码的移码（129 的二进制值）
最后对尾数进行扩充，直到 23 bit 。
使用十六进制写出结果

而将 32 位浮点数转为十进制真值同理，只要记得偏置值和阶码的转换关系即可。

几种特殊状态的浮点数#

数据的宽度和存储#

大小端介绍可点击链接。

大端、小端格式存储 ↗#

一个 32 位字 0x12345678，---- 即 4 字节
- 若采用大端方式存储，则在内存中的排列是：12 34 56 78
- 若采用小端方式存储，则为： 78 56 34 12
ARM 存储字数据有两种方式，即大端格式和小端格式，如果有一个 32 位字 0x12345678 存放的起始地址为 0x0004 0000，在两种格式下分别如何存放？计算机通常情况默认为什么格式？
- 起始地址为 0x0004 0000。由于是 32 位字（4 字节），它将占用 0x0004 0000、0x0004 0001、0x0004 0002、0x0004 0003 这四个内存地址。
- 在大端格式下 (Big-Endian)：
  - 最高有效字节 0x12 存储在最低地址 0x0004 0000。
  - 次高有效字节 0x34 存储在 0x0004 0001。
  - 次低有效字节 0x56 存储在 0x0004 0002。
  - 最低有效字节 0x78 存储在最高地址 0x0004 0003。

大端格式与小端格式：

大端格式（Big-Endian）
- 指数据的高位字节 (Most Significant Byte, MSB) 存放在内存的低地址处
- 数据的低位字节 (Least Significant Byte, LSB) 存放在内存的高地址处。
- 简单记就是“高位在前，低位在后”。
小端格式 (Little-Endian)
- 指数据的低位字节存放在内存的低地址处。
- 数据的高位字节存放在内存的高地址处。
- 可以记作“低位在前，高位在后” (相对于内存地址的增长方向)。

MSB (Most Significant Byte)：指的是最高有效字节，也就是数据在内存里存储的最高位字节

LSB：反之。

例子：32 位计算机中，一个 int 型变量 i 的机器数位 01 23 45 67H，那么它的 MSB = 01H，LSB=67H（01 在数据中是高位字节 MSB）